توابع صعودی و نزولی

 الف) به ازاي هر \({x_2}\)  و\({x_1}\)  که \({x_1} < {x_2}\) داریم  \(f({x_1}) < f({x_2})\) یعنی در واقع با زیاد شدن مقادير x ، مقادير y نيز زياد ميشود. پس تابع صعودي اكيد است.

ب) به ازاي هر\({x_2}\)  و  \({x_1}\) كه \({x_1} < {x_2}\)  داريم.\(f({x_1}) \le f({x_2})\)  يعني در واقع با زياد شدن مقادير x ، مقادير y زياد ميشود يا ثابت ميماند. پس تابع صعودي است.

ج) به ازاي هر \({x_2}\)  و \({x_1}\) كه \({x_1} < {x_2}\)  داريم \(f({x_1}) > f({x_2})\)  يعني در واقع با زياد شدن مقادير x ، مقادير y كم ميشود. پس تابع نزولي اكيد است.

د)به ازای هر \({x_2}\) و\({x_1}\)  که داریم \(f({x_1}) \ge f({x_2})\)  يعني در واقع با زياد شدن مقاديرداريم كهx و مقادير y كم ميشود يا ثابت ميماند. پس تابع نزولي است.

ه) اگر  \({x_2} \le 0\) و \({x_1}\)  و\({x_1} < {x_2}\)   آنگاه \(f({x_1}) > f({x_2})\) اين نشان ميدهد تابع f صعودي نيست واز طرف دیگر اگر \({x_2} \ge 0\) و \({x_2} < {x_1}\) آنگاه \(f({x_1}) < f({x_2})\)  اين نشان ميدهد تابع f از طرف ديگر، اگر 0 نزولي نيست، بنابراين تابع f نه صعودي است و نه نزولي

و) تابع در هر يك از بازه هاي [0 , ∞ −) و [∞ + , 0) صعودي اكيد است، ولي مقادير تابع در مجاورت چپ صفر از مقادير تابع در مجاورت راست صفر بيشتر است. بنابراين تابع روي دامنهي تعريف خود يعني بازهي (∞ + , ∞ −) نه صعودي است و نه نزولي.

 ز) تابع در بازه ي (0 , ∞ −) و (∞ ,+ 0) صعودي اكيد است ولي مقادير تابع در مجاورت چپ صفر از مقادير تابع در مجاورت راست صفر بيشتر است. پس تابع در دامنه ي تعريف خوديعني بازه ي \(( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )\) نه صعودي است و نه نزولي.

ح) با زياد شدن مقادير x ، مقادير y كم نميشود. پس تابع صعودي است و همچنين با زياد شدن مقادير x ، مقادير y زياد نميشود. پس تابع نزولي است ولي صعودي اكيد يا نزولي اكيد نيست.

  چون تابع صعودي اكيد است بايد با زياد شدن مؤلفه هاي اول، مؤلفه هاي دوم نيز زياد شوند. بنابر اين لازم است  \(k \in (2,7)\) باشد.

 با توجه به اينكه با زياد شدن مقادير x ، مقادير y بايد كم شود. لذا لازم است \(f(0)\) عددي در فاصله ي \(\left[ { - 2,3} \right]\)  باشد.

الف) روش اول نمودار تابع f به صورت زیر است.

باتوجه به نمودار واضح است كه تابع نزولي اكيد ميباشد. :

ب ) روش اول: نمودار تابع به صورت زير است

همانگونه که از روی نمودار مشخص است تابع صعودی اکید است.

ج) روش اول: نمودار تابع شبيه يكي از دو نمودار زير است.

بنابراين اگر a>1باشد تابع صعودي اكيد است و اگر0، تابع نزولي اكيد ميباشد

روش دوم :رابطه های

\({x_1} < {x_2} \Rightarrow \log {x_1} < \log {x_2},\log _a^x = \frac{{\log x}}{{\log a}}\)

را در نظر گرفته دو عضو \({x_1},{x_2} \in {D_f} = \left( {0, + \infty } \right)\) را به دلخواه طوری انتخاب می کنیم که \({x_1} < {x_2}\) سپس دو حالت زیر را در نظر می گیریم

حالت اول :\(\left( {a > 1} \right)\)

\(\begin{array}{l}{x_1} < {x_2} \Rightarrow \log {x_1} < \log {x_2}\frac{{\log {x_1}}}{a} > \frac{{\log {x_2}}}{a} \Rightarrow \log x_a^{{x_1}} > \log x_a^{{x_2}}\\\\ \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\end{array}\)

در نتيجه fصعودی اكيد است.

 حالت دوم: \(\left( {0 < a < 1} \right)\)

در نتيجه f نزولي اكيد است.

د ) روش اول: نمودار تابع به صورت زير است.

با توجه به نمودار واضح است كه تابع نزولي اكيد ميباشد

 روش دوم \({x_1},{x_2} \in {D_f} = ( - \infty ,\left. {\frac{2}{3}} \right]\)  را به دلخواه طوري انتخاب ميكنيم كه \({x_1} < {x_2}\)  لذا داريم:

\(\begin{array}{l}{x_1} < {x_2} \Rightarrow 3 - 2{x_1} \Rightarrow \sqrt {3 - 2{x_1}} > \sqrt {3 - 2{x_2}} \Rightarrow \\\\f({x_1}) > f({x_2})\end{array}\)

در نتيجه f نزولي اكيد است.

هـ) روش اول: نمودار تابع به صورت زير است.

همانگونه كه از نمودار مشخص است تابع f در دامنه ي تعريف خود نه صعودي است نه نزولي .

توجه : تابع روي (0 , ∞ −) صعودي اكيد و روي (∞ + , 0] نزولي اكيد است.

روش دوم: \({x_1}\) و  \({x_2}\)  را به دلخواه به صورت هاي زير انتخاب ميكنيم . ضابطه قسمت اول تابع صعودي اكيد است.

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1},{x_2} < 0\\\\{x_1} < {x_2}\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + 1 < {x_2} + 1 \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\\\\\left\{ \begin{array}{l}{x_1},{x_2} > 0\\\\{x_1} < {x_2}\end{array} \right. \Rightarrow - {x_1} < - {x_2} \Rightarrow 2 - {x_1} > 2{x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\end{array}\)

ضابطه قسمت دوم، تابع نزولي اكيد است . بنابراين تابع روي دامنهي تعريف خود نه صعودي است و نه نزولي.

و ) روش اول: نمودار تابع به صورت زير است و با توجه به نمودار واضح است كه تابع f روي دامنه ي تعريف خود نه صعودي است نه نزولي

روش دوم : دو عضو دلخواه از \({D_f} = R\)  را به هاي زير انتخاب ميكنيم.

\(\begin{array}{l}\\\left\{ \begin{array}{l}{x_1},{x_2} \le 1\\\\{x_1} < x2\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} - 1 < {x_2} - 1 \Rightarrow \left| {{x_1} - 1} \right| > \left| {{x_2} - 1} \right| \Rightarrow \left| {{x_1} - 1} \right| + 3 > \left| {{x_2} - 1} \right| + 3 \Rightarrow \\\\f({x_1}) > f({x_2})\end{array}\)

پس تابع f در فاصله ي [,1 ∞ −) نزولي اكيد است.

\(\begin{array}{l}\\\left\{ \begin{array}{l}{x_1},{x_2} \ge 1\\\\{x_1} < {x_2}\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} - 1 < {x_2} - 1 \Rightarrow \left| {{x_1} - 1} \right| < \left| {{x_2} - 1} \right| \Rightarrow \left| {{x_1} - 1} \right| + 3 < \left| {{x_2} - 1} \right| + 3 \Rightarrow \\\\f({x_1}) < f({x_2})\end{array}\)

پس تابع f در فاصلهي (∞ + , 1] صعودي اكيد است . اما تابع روي دامنه ي تعريف خود نه صعودي است و نه نزولي.

  داريم

\(f\left( {\left| {x - 2} \right|} \right) - f\left( {\left| {2x - 1} \right|} \right) \ge 0 \Rightarrow f\left( {\left| {x - 2} \right|} \right) \ge f\left( {\left| {fx - 1} \right|} \right)\)

چون f تابعي صعودي است داريم:

 \(\begin{array}{l}\left| {x - 2} \right| < \left| {2x - 1} \right| \Rightarrow {x^2} - 4x + 4 \ge 4{x^2} - 4x + 1 \Rightarrow 3{x^2} - 3 \le 0 \Rightarrow \\\\ - 1 \le x \le 1 \Rightarrow {D_g} = \left[ { - 1,1} \right]\end{array}\)

 نمودار تابع به صورت زير است.

چون تابع f صعودي است پس لازم است \(1 + a \le 2\)  يعني \(a \le 1\) بنابراين بيشترين مقدار a ميتواند يك باشد.

 دو عضو دلخواه  \({x_1},{x_2} \in {D_f}\) , را طوري انتخاب ميكنيم كه \({x_1} < {x_2}\)  پس داريم:

\({x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2}) \Rightarrow g(f({x_1})) < g(f({x_2}))\)

يعني در واقع داريم

\({x_1} < {x_2} \Rightarrow (gof)({x_1}) < (gof)({x_2})\)

پس تابع gof صعودي اكيد ميباشد، بنابراين يكنواي اكيد ميباشد.

:  \({x_1},{x_2} \in I\)را به طور دلخواه طوري انتخاب ميكنيم كه \({x_1} < {x_2}\)  پس داريم:

\(\begin{array}{l}{x_1} < {x_2} \Rightarrow \left( \begin{array}{l}f({x_1}) < f({x_2})\\\\ \Rightarrow g({x_1}) < g({x_2})\end{array} \right. \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2}) + g({x_2})\\\\ \Rightarrow (f + g)({x_1}) < (f + g)({x_2})\end{array}\)

تابع f+g صعودي اكيد است . بنابراين تابع f+gيكنواي اكيد ميباشد