شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | معادلات و توابع](https://dl.my-dars.com/upload/image/0221726425089.jpg)
در رابطه هايي كه شامل x و y هستند اگر به ازاي هر x تنها يك y داشته باشيم اين رابطه نسبت به متغير مستقل x تابعي را مشخص ميكند بهويژه اگر بتوان y را بر حسب x محاسبه كرد اگر به رابطه اي به فرم \(y = \pm f(x)\) كه y همواره صفر نباشد، برسيم؛ رابطه فوق تابعي را مشخص نميكند به عبارت ديگر f تابع است اگر و تنها اگر بتوان نشان داد:
\(f({x_1}) = f({x_2}) \Rightarrow {x_1} = {x_2}\)
يا به طور معادل
\(f({x_1}) \ne f({x_2}) \Rightarrow {x_1} \ne {x_2}\)
مثال
بررسي كنيد روابط زير تابعاند يا خير؟
الف)\({y^2} - {x^2} = 1\) ب)\({y^2} - {x^2}2y = - 1\)
ج)\({y^3} - {x^2} = 2\) د)\(x + \left| y \right| = 0\)
الف) داريم:
يعني به ازاي هر \(x > - 1\) بيش از يك y داريم . مثلاً اگر \(x = 0\) داريم \(y = \pm 1\) .
لذا اين رابطه مشخص كننده ي يك تابع نيست . البته تنها ذكر اين مطلب كه هر دو نقطه \((0,1)\) و \((0, - 1)\) روي نمودار اين رابطه قرار دارد نشان دهنده ي اين است كه رابطه ي فوق تابع نميباشد.
ب) داريم:
\(\begin{array}{l}{x^2} - {y^2} - 2y = - 1 \Rightarrow {x^2} + {(y - 1)^2} = 0 \Rightarrow {(y - 1)^2} = - {x^2}\\\\ \Rightarrow y - 1 = \pm \sqrt { - {x^2}} \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt { - {x^2}} \end{array}\)
ما x تنها مقدار صفر را ميتواند اختيار كند كه خروجي آن تنها يك ميباشد يعني در اين رابطه تنها زوج مرتب ( 10 , 0) صدق ميكند لذا y تابعي از x است.
ج) داريم:
\({y^3} + {x^2} = 2 \Rightarrow {y^3} = 2 - {x^2}{ \Rightarrow ^3}\sqrt {2 - {x^2}} \)
يعني به ازاي هر x ، y منحصر به فردي وجود دارد يعني y تابعي از x است براي اثبات اين مطلب ميتوان نوشت:
\({x_1} = {x_2} \Rightarrow x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow 2 - x_1^2 = 2 - x_2^2{ \Rightarrow ^3}\sqrt {2 - x_1^2} { = ^3}\sqrt {2 - x_2^2} \Rightarrow {y_1} = {y_2}\)
د) داريم:
\(x + \left| y \right| = 0 \Rightarrow \left| y \right| = - x \Rightarrow y = 9 \pm ( - x),x \le 0\)
يعني اگر\(x > 0\) هيچ نقطه اي در رابطه صدق نميكند . اگر \(x = 0\) ، تنها نقطه ي\((0,0)\) را مشخص ميكند اما اگر \(x < 0\) ، به ازاي هر x ، دو y نظير ميشود؛ لذا y تابعي از x نيست . مثلاً اگر −\(x = - 1\) داريم \(y = \pm 1\) يعني دو نقطه \(( - 1,1)\) و \(( - 1, - 1)\) را مشخص ميكند لذا اين رابطه تابعي را نسبت به x مشخص نميكند . اما اين رابطه يك تابع x بر حسب y را مشخص مي كند .
تهیه کننده: حامد دلیجه
