تابع

الف) مجموعه B هر زير مجموعه اي از اعداد حقيقي شامل مجموعه \(\left\{ {2,4,6,8,\left. {10} \right\}} \right.\) ميتواند باشد

ب) اعضاي تابع f به صورت\(f = \left\{ {\left( {1,2} \right)} \right.,\left( {2,4} \right),\left( {3,6} \right),\left( {4,8} \right),\left. {\left( {5,10} \right)} \right\}\)  ميباشد.

ج) ضابطه تابع f را ميتوان به صورت \(f(x) = 2x\) نوشت.

د) تابعfراميتوان به صورتهاي\(\left\{ \begin{array}{l}f:A \to N\\f(x) = 2x\end{array} \right.\) يا\(\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {f:\left\{ {1,2,3,4,\left. 5 \right\}} \right.} \right. \to \left\{ {1,2,3,4,5,\left. {...} \right\}} \right.\\f(x) = 2x\end{array} \right.\) نوشت كه به طوركامل تابع فوق را معرفي ميكنند توجه كنيد كه مجموعه A دامنه تابع f و مجموعه N ، هم دامنه تابع و همچنين برد تابع مجموعه \(\left\{ {2,4,6,8\left. {,10} \right\}} \right.\) ميباشد.

 الف) با توجه به اينكه از هر عضو A دقيقاً يك پيكان بايد خارج شده باشد بنابراين دقيقاً بايد m پيكان از A به B كشيده شود.

ب) بيشمار تابع براي g ميتوان در نظر گرفت.به عنوان مثال ميتوان g  را چنين در نظر گرفت:

مجموعه {فرانسه، انگليس، ايران} دامنه تابع و مجموعه { رياض، پاريس، لندن، تهران} هم دامنه تابع و مجموعه {پاريس، لندن، تهران} باشندبرد تابع مي باشند.

ج) ميتوان g را چنين در نظر گرفت.

مجموعه \(\left\{ {ali,reza,ami} \right.\left. r \right\}\) دامنه تابع و\(\left\{ {A,R,\left. B \right\}} \right.\)  هم دامنه تابع و مجموعه \(\left\{ {A,\left. R \right\}} \right.\) برد تابع ميباشند.

د) تابع g را ميتوان چنين در نظر گرفت

مجموعه \(\left\{ {1,2,5,\left. 8 \right\}} \right.\) دامنه تابع و مجموعه {نه اول و نه مركب، عدد مركب، عدد اول} هم دامنه و برد تابع هستند.

الف) با توجه به اينكه نمودار ضابطه داده شده يك خط است و هر خط با 2 نقطه مشخص ميشود كافي است 2 نقطه از اين خط را يافته و خط را رسم كرد.

 به عنوان مثال:

\(x = 0 \Rightarrow y = 32 \Rightarrow (0,32) \in f,x = - 10 \Rightarrow y = 14 \Rightarrow ( - 10,14) \in f\)

لذا شكل آن به صورت زير خواهد بود.

ب) نموار اين تابع قسمتي از تابع f است كه در آن \( - 20 \le x \le 20\) در واقع تابع g را تحديد تابع f ميناميم و نمودار آن چنين است:

ج) با توجه به اينكه\(g\left( 1 \right) = \frac{9}{5} + 32 = \frac{{169}}{5}\)  لذا چنين تابعي نميتوان يافت.

 طبق شكل اگر DC را برابر x بگيريم، داريم\(DFC = 30\) (چرا) و از آنجا\(F{C^2} = 2x\)  با توجه به رابطه ي فيثاغورس داريم:

\(F{C^2} = D{C^2} + F{D^2} \Rightarrow {(2x)^2} = {x^2} + F{D^2} = FD = \sqrt 3 x\)

لذا مساحت مستطيل فوق از رابطه\(S = (1 - 2x)x\sqrt 3 \)  دست مي آيد و داريم:

\(s = - 2\sqrt 3 ({x^2} - \frac{1}{2}x) = - 2\sqrt 3 \left[ {{{(x - \frac{1}{4})}^2} - \frac{1}{{16}}} \right] = - 2\sqrt 3 {(x - \frac{1}{4})^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{8}\)

اما بيشترين مقدار عبارت \( - 2\sqrt 3 {(x - \frac{1}{4})^2}\) صفر است كه به ازاي\(x = \frac{1}{4}\)  به دست مي آيد و لذا ماكزيمم S برابر \(\frac{{\sqrt 3 }}{8}\) است و طول و عرض اين مستطيل برابر است با\(x\sqrt 3 = \frac{1}{4}\sqrt 3 \) و

\(1 - 2x = 1 - 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}\)

  دامنه اين دو تابع مجموعه \(\left\{ {3,7,\left. 9 \right\}} \right.\) است كه با هم مساوي است . \(f(7) = - 1\) ولي \(g(7) = 5\) پس دو تابع با هم مساوي نيستند .

 چون\(1 \in {D_g}\)  لذا بايد \(1 \in {D_f}\) و \(f(1) = 4\)  پس بايد \(g(1) = 4\) يعني \(a = 4\) همچنين \(g(b) = 2\) و از حل معادله\(f(x) = 2\) نتيجه ميشود كه \(x = \frac{1}{{^3\sqrt 3 }}\)لذا \(b = \frac{1}{{^3\sqrt 3 }}\) با استدلال هاي مشابه \(4 \in {D_g}\)و در نتیجه باید\(4 \in {D_f}\)  و چون \(f(4) = 193\) لذا \(g(4) = 193\) يعني \(c = 193\)

پس تابع   gبه صورت \(g(x) = \left\{ {(1,4),(\frac{1}{{^3\sqrt 3 }}} \right.),(4,193\left. ) \right\}\) بوده و A نيز چنين است \(A = \left\{ {(1,4),(\frac{1}{{^3\sqrt 3 }}} \right.),\left. 4 \right\}\)

دامنه هر دو تابع مجموعه اعداد حقیقی است اما به ازای هر \(x < 1\)  مقادیر هر دو تابع برابر نیست مثلا\(f( - 5) = \sqrt {(5} {)^2} = 25 = 5\)  ولی \(g( - 5) = - 5\)

ميدانيد كه \(\tan x\) به ازاي هر\(x = k\pi + \frac{\pi }{2}\) , \(K \in Z\) تعريف نشده است يعني اين نقاط در دامنه تابع f قرار ندارند.

 اما \(\cot x\) به ازاي هر  \(x = k\pi \) ,\(K \in Z\)  تعريف نشده و به ازاي هر\(x = k\pi + \frac{\pi }{2}\) , \(K \in Z\)  صفر 2 ميشود لذا مجموعه اين نقاط يعني نقاط به طول\(x = k\frac{\pi }{2}\) \(K \in Z\) , عضو دامنه تابع g نميباشد.

بنابراين دامنه اين دو تابع برابر نيست . به عنوان مثال \(f(0)\) تعريف شده و برابر صفر است اما تابع g به ازاي \(x = 0\)  تعريف نشده است

 اولاً دامنه هر دو تابع مجموعه اعداد حقيقي است و \(g(2) = M\) و  \(M = 5\) بنابراين 5 همچنين \(f( - 2) = L\) و \(g( - 2) = \frac{1}{{ - 4}}\) لذا.\(L = - \frac{1}{4}\)  توجه كنيد كه اگر   \(x \ne 2\), \(x \ne - 2\) آنگاه:

\(f(x) = \frac{{x + 2}}{{x - 2}} = \frac{{x + 2}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{1}{{x - 2}}\)