شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | مجموعه های متقارن](https://dl.my-dars.com/upload/image/0261726425332.jpg)
مجموعه ي \(A \subseteq R\) را متقارن گوييم هر گاه به ازاي هر \(x \in A\) داشته باشيم \( - x \in A\)
مثال
مجموعه ي \(A = \left\{ { - 3, - 2, - 1,0,1,\left. 2 \right\}} \right.\) متقارن نيست، زيرا \( - 3 \in A\) ولي \(3 \notin A\)
مثال
مجموعه ي \(A = \left\{ { - 1,\left. 2 \right\}} \right.\) متقارن نيست، زيرا\(2 \in A\) ولي \( - 2 \notin A\)
مثال
مجموعه ي مثال:مجموعه ی \(A = \left\{ { - 2,\left. 2 \right\}} \right.\) متقارن است زيرا هر عضوي از A انتخاب كنيم قرينه ي آن عضو نيز در A وجود دارد.
مثال
مجموعه ي A كه به صورت زير، روي محور نمايش داده شده، متقارن نيست، زيرا\( - 2 \in A\) و \(2 \notin A\)
تابع f با دامنه يي متقارن را زوج گو يم، هر گاه به ازاي هر \(x \in {D_f}\) ، تساوي \(f( - x) = - f(x)\) برقرار باشد.
تابع f با دامنه يي متقارن را فرد گو يم، هر گاه به ازاي هر
\(x \in {D_f}\) تساوي \(f( - x) = - f(x)\) برقرار باشد.
مثال
زوج يا فرد بودن تابع \(f = \left\{ {\left( { - 3, - 1} \right)} \right.,(2,3),( - 2,3\left. {),\left( {3,1} \right)} \right\}\) را بررسي كنيد.
چون \({D_f} = \left\{ { - 3, - 3,2,\left. 3 \right\}} \right.\) ، لذا دامنه f متقارن است \(f( - 3) = - f(3)\) ولي \(f( - 2) = f(2)\) بنابراين تابع f نه زوج است و نه فرد.
مثال
زوج يا فرد بودن تابع \(f(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\) را بررسي كنيد.
داريم \({D_f} = R - 3\) و \( - 3 \in {D_f}\) ولي \(3 \notin {D_f}\) ، پس دامنه تابع f متقارن نيست. بنابراين تابع f نه زوج است نه فرد.
مثال
زوج يا فرد بودن تابع \(f(x) = \frac{{{x^2} - \left| x \right|}}{{{x^2} + 1}}\) را بررسي كنيد.
داريم \({D_f} = R\) و لذا دامنه f متقارن است و
\(f( - x) = \frac{{( - {x^2}) - \left| x \right|}}{{({x^2}) + 1}} = \frac{{{x^2} - \left| x \right|}}{{{x^2} + 1}} = f(x)\)
بنابراين f تابعي زوج است.
مثال
زوج يا فرد بودن تابع \(f(x) = \log (x + \sqrt {{x^2} + 1} )\) رابررسی کنید
باتوجه به \({x^2} + 1 \ge 1\) و اين كه \(x + \sqrt {{x^2} + 1} > 0 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} \ge - x\) همواره برقرار است
11 دامنه ي f برابر ℜ است و لذا متقارن است و
\(\begin{array}{l}f( - x) = \log ( - x + \sqrt {({x^2}) + 1} = \log (\frac{{(\sqrt {{x^2} + 1} - x)(\sqrt {{x^2} + 1} + x)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}}\\\\ = \log \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} = \log 1 - \log (\sqrt {{x^2} + 1} + x) = - f(x)\end{array}\)
بنابراين f تابعي فرد است.
مثال
زوج يا فرد بودن تابع \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^4} - 2x,x \ge 0\\\\{x^4} + 2x,x < 0\end{array} \right.\) را بررسي كنيد.
\({D_f} = R\) و لذا دامنه f متقارن است.
حالت اول: \(x = 0 \to f(0) = 0\)
حالت دوم: اگر x<0آنگاه –x>0 و داريم:
\(f( - x) = \left( { - {x^4}} \right) + 2\left( { - x} \right) = {x^4} - 2x = f(x)\)
بنابراين f تابعي زوج است.
مثال
زوج يا فرد بودن تابع \(f(x) = \sin x + \cos x\) را بررسي كنيد.
:\({D_f} = R\) و لذا دامنه f متقارن است و
\(f( - x) = \sin ( - x) + \cos ( - x) = - \sin x + \cos x\)
واضح است که \(f( - x) \ne f(x)\) و \(f( - x) \ne - f(x)\) پس تابع نه زوج است نه فرد.
مثال
قسمتي از نمودار تابع f با دامنه ي \(\left[ { - 4,4} \right]\) به صورت
رسم شده است، نمودار تابع را طوري كامل كنيد تا:
الف) f تابعي زوج را نمايش دهد.
ب) f تابعي فرد را نمايش دهد.
الف) ميدانيم نمودار تابع زوج نسبت به محور y ها متقارن است. پس لازم است نمودار f به صورت مقابل باشد.
ب) ميدانيم نمودار تابع فرد نسبت به مبدأ مختصات متقارن است. پس لازم است نمودار f به صورت مقابل باشد.
مثال
ثابت كنيد تنها تابعي كه هم زوج است و هم فرد، تابع ثابت صفر با دامنه ي متقارن است.
فرض كنيم f تابعي با دامنهي متقارن باشد، آنگاه به ازاي هر \(x \in {D_f}\) داريم:
تابعی زوج است
\(\left. \begin{array}{l}f \Rightarrow f( - x) = f(x)\\f \Rightarrow f( - x) = - f(x)\end{array} \right\} \Rightarrow f(x) = - f(x) \Rightarrow f(x) = 0\)
تابعی فرد است
مثال
تابع f با ضابطه ي \(f(x) = c{x^3} + {(a - 3)^2} - 2bx + b + 4\) داده شده است.
الف) به ازاي چه مقاديري از a و b تابع f زوج است.
ب) به ازاي چه مقاديري از a و b تابع f فرد است.
واضح است كه \({D_f} = R\)
الف)
\(\begin{array}{l}f( - x) = f(x) \Rightarrow - c{x^3} + (a\_3){x^2} + bx + b + 4 = cx + (a\_3) - 2bx + b + 4\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - c\\\\2b = - 2b\\\\a - 3 = a - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\\\b = 0\\\\a \in R\end{array} \right.\end{array}\)
براي زوج بودن تابع چند جملهاي f لازم است تنها جملات با درجه ي زوج وجود داشته باشند.
ب(
\(\begin{array}{l}f( - x) = - f(x) \Rightarrow - c{x^3} + (a\_3){x^2} + 2bx + b + 4 = cx - (a\_3){x^2} + 2bx - b - 4\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3 = - (a - 3)\\\\b + 4 = - b + 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\\\b = - 4\end{array} \right.\end{array}\)
براي فرد بودن تابع چند جمله ای f ، لازم است در ضابطه ی آن تنها جملات با درجه ی فرد وجود داشته باشند.
مثال
اگر f و g هر دو فرد باشند، زوج يا فرد بودن تابع \(\frac{f}{g}\) را بررسي كنيد.
\(\begin{array}{l}x \in {D_{\frac{f}{g}}} \Rightarrow x \in {D_f} \cap {D_g}:g(x) \in {D_{\frac{f}{g}}}\\\left. \begin{array}{l}x \in {D_f} \Rightarrow - x \in {D_f}\\\\x \in {D_g} \Rightarrow - x \in {D_g}\end{array} \right\} \Rightarrow - x \in {D_f} \cap {D_g},g( - x) = - g(x) \ne 0 \Rightarrow - x \in {D_{\frac{f}{g}}}\\\end{array}\)
بنابراين دامنه تابع \(\frac{f}{g}\) متقارن است و داريم:
\(\frac{f}{g}( - x) = \frac{{f( - x)}}{{g( - x)}} = \frac{{ - f( - x)}}{{ - g( - x)}} = \frac{f}{g}(x)\)
پس تابع \(\frac{f}{g}\) تابع زوج است.
