ترکیب توابع

براي تعيين تابع fog دقت ميكنيم كه اعضاي دامنه تابع fog اعضايي از دامنه تابع g ميباشد كه در دامنه f قرار داشته باشد . داريم:

\(\left. \begin{array}{l}1 \in {D_f},f(1) = 2,2 \notin {D_g} \to 1 \notin {D_{fog}}\\\\2 \in {D_f},f(2) = 3,3 \notin {D_g} \to 2 \notin {D_{fog}}\\\\3 \in {D_f},f(3) = 4,4 \notin {D_g} \to 3 \notin {D_{fog}}\\\\4 \in {D_f},f(4) = 5,5 \notin {D_g} \to 4 \notin {D_{fog}}\\\\6 \in {D_f},f(6) = 7,7 \notin {D_g} \to 6 \notin {D_{fog}}\end{array} \right\} \Rightarrow {D_{fog}} = \left\{ {2,4,\left. 6 \right\}} \right.\)

و لذا

\(\left. \begin{array}{l}gof(2) = g(f(2)) = g(3) = 5\\\\gof(4) = g(f(4)) = g(5) = 7\\\\gof(6) = g(f(6)) = g(7) = 1\end{array} \right\} \Rightarrow gof = \left\{ {\left( {2,5} \right)} \right.,(4,7),(6,1\left. ) \right\}\)

 تعيين تابع :fog

  دامنه آن اعضايي از دامنه   \(\left\{ {\left. x \right|} \right.x \ge \left. 0 \right\}\),g  ميباشد كه:

\(\begin{array}{l}g(x) \in {D_f} = \left\{ { - 2} \right.,0,1,\left. 2 \right\}\\\\g(x) = - 2 = \sqrt x + 1 \Rightarrow \sqrt x = - 3\\\\g(x) = 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 = 0 \Rightarrow \sqrt x = - 1\\\\g(x) = 1 \Rightarrow \sqrt x + 1 = 1 \Rightarrow \sqrt x = 0 \Rightarrow x = 0\\\\g(x) = 2 \Rightarrow \sqrt x + 1 = 2 \Rightarrow \sqrt x = 1 \Rightarrow x = 1\end{array}\)

دومی غیر ممکن

سومی ممکن

پس از اعضاي دامنه تابع g تنها دو عضو 0 و 1 در دامنه تابع fog وجود دارند و داريم.

 \(\begin{array}{l}fog(0) = (f(0)) = f(1) = 4\\\\fog(1) = (f(1)) = f(2) = - 5\end{array}\)

يعني:

\(fog(1) = \left\{ {(0,4),(1, - \left. {5)} \right\}} \right.\)

تعيين تابع: gof

دامنه آن اعضايي از دامنه تابع f ، \(\left\{ { - 2,0,1,\left. 2 \right\}} \right.\) هستند كه \(f(x) \in {D_g} = \left\{ {\left. x \right|} \right.x \ge \left. 0 \right\}\)  اما:

 \(\begin{array}{l}gof( - 2) = 0,0 \in {D_g} \Rightarrow - 2 \in {D_{fog}}\\\\gof(0) = 1,1 \in {D_g} \Rightarrow 0 \in {D_{fog}}\\\\gof(1) = 4,4 \in {D_g} \Rightarrow 1 \in {D_{fog}}\\\\gof( - 5) = 0, - 5 \in {D_g} \Rightarrow 2 \notin {D_{fog}}\end{array}\)

پس از اعضاي دامنه تابع f تنها سه عضو 2- ، 0 و 1 در دامنه تابع gof حضور دارند و داريم.

\(\begin{array}{l}g( - 2) = 0,0 \in {D_g} \Rightarrow - 2 \in {D_{fog}}\\\\g(0) = g(f(0)) = g(1) = 2\\\\g( - 5) = g(f(1)) = g(1) = 3\end{array}\)

يعني

\(gof = \left\{ {\left( { - 2,1} \right)} \right.,(0,2),(1,3\left. ) \right\}\)

 تعيين تابع :fog

دامنه تابع g مجموعه \({D_g} = \left\{ {\left. x \right|} \right. - 1 \le x \le \left. 1 \right\}\) است اماg(x) باید در دامنه تابعf باشدو \({D_f} = \left\{ {\left. x \right|} \right.x \ne \left. 0 \right\}\)  پسg(x) نبايد صفر شود. اما g(x)در 1- و 1 صفر ميشود . پس \({D_{fog}} = \left\{ {\left. x \right|} \right. - 1 < x < \left. 1 \right\}\)   و به ازای این xها داريم \(fog(x) = f(g(x)) = f(\sqrt {1 - {x^2}} ) = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)    تعيين تابع

دامنه تابع gof عضوهايي از مجموعه \(\left\{ {\left. x \right|} \right.x \ne \left. 1 \right\}\)  ميباشد كه \(f(x) \in {D_g}\) باشد يعني \( - 1 \le f(x) \le 1\) یا \( - 1 \le \frac{1}{x} \le 1\) یعنی   .\({D_{fog}} = ( - \infty , - \left. 1 \right] \cup \left[ {1, + \infty )} \right.\)  پس با در نظر گرفتن هر دو شرط، دامنه gof مجموعه \({D_{fog}} = ( - \infty , - \left. 1 \right] \cup \left[ {1, + \infty )} \right.\) ميباشد و به ازاي اين x ها داريم:

\({D_{fog}} = g(f(x)) = g(\frac{1}{x}) = \sqrt {1 - {{(\frac{1}{x})}^2}} \)

 داريم

\(v = {v_0} + gt \Rightarrow t = \frac{{v - {v_0}}}{g} = t(v) = \frac{{v - {v_0}}}{g}\) 

حال از تركيب توابع \(h(t)\) و \(t(v)\) به تابع \(h(t(v))\) ميرسيم . بنابراين:

\(h(t(v)) = \frac{1}{2}g{(\frac{{v - {v_0}}}{g})^2} + {v_0}(\frac{{v - {v_0}}}{g}) \Rightarrow h(t(v)) = \frac{{{v^2} - {v_0}^2}}{{2g}}\)

 اگر قرار دهيم \(g(x) = 3x - 4\)  و \(f(x) = \sqrt {\sqrt x - 2x} \) آنگاه \(h = fog\) و داريم \({D_f} = \left[ {0,\frac{1}{4}} \right]\)

پس

\(\begin{array}{l}{D_h} = {D_{fog}}\left\{ {x\left. { \in {D_g}} \right\}f(x) \in D\left. {_f} \right\}} \right. = \left\{ {x\left. { \in R} \right\}0 \le x \le \left. {\frac{1}{4}} \right\} = \left[ {0,\frac{1}{4}} \right]} \right.\\\end{array}\)

 توجه كنيد كه x ابتدا به تابع g رفته و خروجي آن وارد تابع f ميشود . حال اگر \(x > 0\)  را بعنوان ورودي تابع g در نظر بگيريم خروجي آن عدد 1 ميباشد حال 1 ورودي f را تشكيل ميدهد كه خروجي f به ازاي \(x = 1\) برابر \(1 + 1 = 2\)ميباشد . اين مطلب را چنين نمايش ميدهيم:

\(x > 0 \to 11 + 1 = 2\)

حال اگر \(x \le 0\)  ورودي تابع g باشد خروجي آن-5x  است . اگر  \( - 5x < 1\) باشد، خروجي تابع f ، \(( - 5{x^2}) = 25{x^2}\) است و اگر \( - 5x \ge 1\)  باشد خروجي تابع f ، \( - 5x + 1\) است يعني

\(\begin{array}{l}x \le 0 \to - \frac{1}{5} < x \le 0 - 5x{( - 5x)^2} = 25{x^2}\\\\x \le 0 \to x \le - \frac{1}{5} - 5x - 5x + 1\\\\ \Rightarrow fog(x) = \left\{ \begin{array}{l} - 5x + 1,x \le - \frac{1}{5}\\\\25{x^2}, - \frac{1}{5} < x \le 0\\\\2,x > 0\end{array} \right.\\\end{array}\)

داريم

 \(\begin{array}{l}f(x) = \sqrt x + 1 \Rightarrow f(g(x)) = \sqrt {g\left( x \right)} + 1\\\\fog(x) = f(g(x)) = \sqrt {{x^2} - 1} + 1\end{array}\)

لذا

 \(\sqrt {g\left( x \right)} + 1 = \sqrt {{x^2} - 1} + 1\)

 و در نتيجه

\(\sqrt {g\left( x \right)} = \sqrt {{x^2} - 1} \)

يا

 \(g(x) = {x^2} - 1\)

 اگر

\(\begin{array}{l}fog(x) = f(g(x)) = \sqrt {{{\sin }^4}x + 2{{\sin }^2}x + 2} = \\\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right)} = \sqrt {{g^2}(x) + 1} \end{array}\)

حالا با قرار دادن x به جاي g(x)در تساوي ها داريم

 \(f(x) = \sqrt {{x^2} + 1} \)