شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | توابع متناوب](https://dl.my-dars.com/upload/image/0291726425411.jpg)
تابع f را متناوب ناميم هرگاه يك عدد حقيقي مثبت مانند T موجود باشد، كه برای هر \(x \in {D_f}\) داشته باشيم:
\(f(x + T) = f(x),x + T \in {D_f}\)
براي هر
كوچكترين عدد T با خاصيت هاي بالا را دوره تناوب f مينامند.
مثال
با استفاده از رسم نمودار دوره تناوب تابع \(y = \sin x\) را تعيين كنيد.
حل: همانگونه كه از نمودار مشاهده ميشود كمترين طولي كه نمودار تابع در آن عيناً تكرار ميشود \(2\pi \) است. پس دوره تناوب تابع \(T = 2\pi \) ميباشد.
مثال
دوره تناوب تابع \(y = 3\sin x - 1\) را تعيين كنيد.
با توجه به اينكه براي رسم نموار تابع \(y = 3\sin x - 1\) ميتوانيم ابتدا نمودار تابع \(y = \sin x\) را رسم و نمودار را با يك انبساط در جهت محور y ها و يك انتقال به راست، نمودار تابع را رسم كنيم در واقع دوره تناوب اين تابع با تابع \(y = \sin x\) يكسان است. اين مطلب در شكل زير به خوبي قابل مشاهده ميباشد.
توجه: در حالت كلي اگر f تابعي متناوب با دوره تناوب T باشد توابع \(y = af(x) + b\) نيز متناوب با همان دوره تناوب T خواهند بود. ولي دوره تناوب تابع \(y = f(ax)\) برابر \(\frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\) است ( . به علت π2 انقباض و انبساط در جهت محور x ها(
مثال
آيا تابع \(y = \sqrt {1 - {x^2}} \) متناوب است؟ چرا؟
خير - زيرا \({D_f} = \left[ { - 1,1} \right]\) و شرط \(x + T \in {D_f}\) نميتواند براي تابع برقرار باشد.
مثال
آيا تابع y=2متناوب است؟ در صورت متناوب بودن دوره تناوب آن را تعيين كنيد.
دامنه تعريف تابع برابر ℜ است. پس T هر عدد حقيقي مثبت كه باشد داريم
\(\left\{ \begin{array}{l}x + T \in {D_f}\\\\f(x + T) = f(x)\end{array} \right.\)
پس تابع متناوب است. اما چون كوچكترين عدد حقيقي مثبت وجود ندارد، پس دوره تناوب ندارد.
براي تعيين دوره تناوب ميتوانيم از دستورهاي زير استفاده كنيم:
\(\begin{array}{l}1)y = {\sin ^{2n - 1}}(ax).y = {\cos ^{2n - 1}}(ax)T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\\\\2)y = {\sin ^{2n - 1}}(ax).y = {\cos ^{2n - 1}}(ax)T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\\\\3)y = {\sin ^{2n}}(ax),y = {\cos ^{2n}}(ax),y = {\tan ^n}(ax),y = {\cot ^n}(ax)T = \frac{\pi }{{\left| a \right|}}\\\\y = \left| {\sin (ax)} \right|,y = \left| {\cos (ax)} \right|,y = \left| {A\sin (ax) + B\cos (ax)} \right| \Rightarrow T = \frac{\pi }{{\left| a \right|}}\\\\\end{array}\)
مثال
دوره تناوب توابع زير را تعيين مي کنیم
\(\begin{array}{l}1)y = {\sin ^3}(2x) \Rightarrow T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \\\\2)y = {\sin ^2}(2x) \Rightarrow T = \frac{\pi }{2}\\\\3)y = - 3\sin (2x) \Rightarrow T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \\\\4)y = {\sin ^3}(2x) \Rightarrow T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \\\\5)y = \frac{\pi }{4} - 3\sin (1 - 2x) \Rightarrow T = \frac{{2\pi }}{{\left| { - 2} \right|}} = \pi \\\\6)y = {\tan ^2}(3x) \Rightarrow T = \frac{\pi }{3}\\\\7)y = 4 - 2\cot (\frac{\pi }{4} - 3\pi x) \Rightarrow T = \frac{\pi }{{\left| { - 3\pi } \right|}} = \frac{1}{3}\end{array}\)
مثال
دوره تناوب تابع \({y_1} = \sin (\frac{2}{3}x + \frac{\pi }{6}) - 1\) چند برابر دوره تناوب تابع \({y_2} = {\sin ^2}(\frac{2}{3}x)\) است.
\({T_1} = \frac{{2\pi }}{{\frac{2}{3}}} = 3\pi ,{T_2} = \frac{{2\pi }}{{\frac{2}{3}}} = \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow \frac{{{T_1}}}{T} = \frac{{3\pi }}{{\frac{2}{3}}} = \frac{9}{2}\)
توابع زير متناوب نيستند:
توابع مثلثاتي كه در آن كمان x زير راديكال و يا تواني غير از يك داشته باشد متناوب نيستند.
هر گاه در تابع، كمان با يكي از چهار عمل اصلي با نسبت مثلثاتي قرار گيرد، تابع متناوب نيست.
مثال
توابع زير متناوب نيستند
الف)\(y = \cos \left| x \right|\) ب) \(y = x\cos x\)
ج) \(y = \sqrt x + \tan x\) د) \(y = x - \cos x\)
ه)\(y = \sin \left| x \right|\)
براي هر عدد حقيقي x جزء صحيح آن بزرگترين عدد صحيحي است كه از x بيشتر نيست. جزء صحيح x را با نماد \(\left[ x \right]\) يا \(\left\lfloor x \right\rfloor \) نمايش ميدهيم. يعني براي هر عدد حقيقي x يك عدد صحيح p موجود است به طوري که:
\(p \le x < p + 1 \Rightarrow \left[ x \right] = p\)
مثال
الف)\(\left[ x \right] < 2\) ب)\(\left[ x \right] \le 2\)
ج)\(\left[ x \right] < - \frac{1}{2}\) د)\(\left[ x \right] \le - \sqrt 2 \)
ه)\(\left[ {\frac{{3x + 1}}{2} < 4} \right]\) و)\({\left[ x \right]^2} - 3\left[ x \right] + 2 < 0\)
ز)\(\left[ {\log _2^x} \right] < 8\)
\(\left[ x \right] < 2 \Rightarrow \left[ x \right] \le 2 \Rightarrow x < 2\) (الف
\(\left[ x \right] \le 2 \Rightarrow x < 3\) (ب
\(\left[ x \right] < - \frac{1}{2} \Rightarrow \left[ x \right] < - \frac{1}{2} < 0 \Rightarrow x < 0\) (ج
\(\left| x \right| \le - \sqrt 2 \Rightarrow \left| x \right| \le - \sqrt 2 < - 1 \Rightarrow x < - 1\) (د
\(\left[ {\frac{{3x + 1}}{2}} \right] < 4 \Rightarrow \frac{{3x + 1}}{2} < 4 \Rightarrow 3x + 1 < 8 \Rightarrow x < \frac{7}{3}\) (ه
\(\begin{array}{l}{\left[ x \right]^2} - 3\left[ x \right] + 2 < 0{t^2} - 3t + 2 < 0 \Rightarrow 1 < t < 2\\\\ \Rightarrow 1 < \left[ x \right] < 2\end{array}\)
\(\left[ {\log _2^x} \right] < 9 \Rightarrow \log _2^x < 9 \Rightarrow x < {2^9}\) (ز
دستور های زیر برای جز صحیح همواره برقرار است
\(\begin{array}{l}\left[ {x + k} \right]\left[ x \right] \pm k\\\\\left[ x \right] + \left[ { - x} \right] = \left\{ \begin{array}{l}0,x \in z\\\\ - 1,x \notin z\end{array} \right.\\\\0 \le x - \left[ x \right] < 1\\\\x - 1 \le \left[ x \right] \le x\\\\\left[ x \right] + \left[ {x + \frac{1}{n}} \right] + \left[ {x + \frac{n}{2}} \right] + ... + \left[ {x + \frac{{n - 1}}{n}} \right] = \left[ {nx} \right]\\\\x > 0 \Rightarrow \left[ x \right] \ge 0\\\\x < 0 \Rightarrow \left[ x \right] < 0\end{array}\)
مثال
معادله ي \(\left[ x \right] + \left[ {x + 3} \right] - \left[ {x + 2} \right] = 5\) را حل كنيد.
\(\left[ x \right] + \left[ x \right] + 3 - \left[ x \right] - 2 = 5 \Rightarrow \left[ x \right] = 4 \Rightarrow 4 \le x < 5\)
مثال
معادله ی \(4\left[ x \right.\left. {^2} \right] + x = 5\) را حل كنيد.
\(\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {4\left[ x \right.\left. {^2} \right]} \right. \in z\\\\\left\{ {4\left[ x \right.\left. {^2} \right]} \right. + x = 5\end{array} \right. \Rightarrow x \in z \Rightarrow {x^2} \in z \Rightarrow 4{x^2} + x - 5 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\\\x = - \frac{5}{4}\end{array} \right.\)
مثال
معادله ي \(\left[ x \right] + \left[ { - x} \right] = \frac{1}{{x - \left[ x \right]}}\) را حل كنيد.
ميدانيم
\(\left[ x \right] + \left[ { - x} \right] = \left\{ \begin{array}{l}0,x \in z\\\\ - 1,x \notin z\end{array} \right.\)
باتوجه به اینکه صورت کسر طرف دوم عدد یک یک است پس طرف اول صفر نمی تواند باشد بنابراین \(x \in z\) و برابر 1- است و داریم :
مهادله جواب ندارد \( - 1 = \frac{1}{{x - \left[ x \right]}} \Rightarrow x - \left[ x \right] = - 1 \to 0 < x - \left[ x \right] < 1\)
مثال
دامنه و برد تابع \(y = \frac{1}{{\sqrt {x - \left| x \right|} }}\) را تعيين كنيد
لازم است \(x - \left| x \right| > 0\) باشد،
\(\begin{array}{l}0 \le x - \left| x \right| < 1x - \left| x \right| \ne 0 \Rightarrow x \ne z \Rightarrow {D_f} = R - Z\\\\x \in R - Z \Rightarrow 0 < x - \left| x \right| < 1 \Rightarrow \sqrt {x - \left| x \right| < 1} \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {x - \left| x \right|} }} > 1 \Rightarrow {R_f} = \left( {, + \infty } \right)\end{array}\)
مثال
نمودار تابع \(y = - 2\left| x \right| - 1\) را رسم كنيد.
ميدانيم نمودار تابع \(y = \left| x \right|\) به صورت مقابل است.
پس لازم است ابتدا y هاي نقاط اين نمودار در -2 ضرب شود، سپس تمام نقاط آن يك واحد به سمت پايين انتقال يابد. بنابراين نمودار به صورت زير در مي آيد.
مثال
نمودار تابع \(y = \left| {\sqrt x } \right|\) را در فاصله ي ( 90 ,0 ] رسم كنيد.
داريم
\(\begin{array}{l}0 \le x < 9 \Rightarrow 0 \le \sqrt x < 3 \Rightarrow \left| {\sqrt x } \right| = 0,1,2\\\\\left| {\sqrt x } \right| = 0 \Rightarrow 0 \le \sqrt x < 1 \Rightarrow 0 \le x < 1,y = 0\\\\\left| {\sqrt x } \right| = 1 \Rightarrow 1 \le \sqrt x < 2 \Rightarrow 1 \le \sqrt x < 4,y = 1\\\\\left| {\sqrt x } \right| = 2 \Rightarrow 2 \le \sqrt x < 3 \Rightarrow 4 \le \sqrt x < 9,y = 2\end{array}\)
و نمودار به صورت زير در مي آيد.
مثال
نمودار تابع \(y = x\left| {\sqrt x } \right| + 2x - 5\) را در فاصله ي ( 40 ,0 ] رسم كنيد.
\(0 \le x < 4 \Rightarrow 0 \le \sqrt x < 2 \Rightarrow \left[ {\sqrt x } \right] = 0,1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\sqrt x } \right] = 0 \Rightarrow 0 \le \sqrt x < 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x < 1\\\\y = 2x - 5\end{array} \right.\\\\\left[ {\sqrt x } \right] = 1 \Rightarrow 1 \le \sqrt x < 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x < 4\\\\y = 3x - 5\end{array} \right.\end{array} \right.\)
براي رسم نمودار تابع \(f(x) = \left[ {g(x)} \right]\) ميتوانيم ابتدا نمودار تابع \(y = g(x)\) را رسم كنيم. سپس خطوط\(y = k\) , \(k \in z\) را رسم نموده و در انتها هر قسمت از نمودار را كه بين دو خط افقي متوالي قرار گرفت را روي خط پاييني تصوير كنيم. محل تلاقي خطوط افقي با نمودار نقطه اي توپر ميباشد.
مثال
نمودار تابع \(y = \left| {{x^2}} \right|\) رارسم کنید
مثال
نمودار تابع \(y = \left| {\log x} \right|\) رارسم کنید
مثال
نمودار تابع\(y = \left[ {\sin x} \right]\) را در فاصله ی \(\left[ {0,2\pi } \right]\) رسم کنید
تهیه کننده: حامد دلیجه
