درسنامه کامل هندسه یازدهم

دایره پر کاربرد ترین شکل در طبیعت، معماری، صنعت و .... می باشد. به عنوان یک مسئله ریاضی می توان ثابت کرد، در بین تمام شکل های هندسی با محیط ثابت دایره دارای بیشترین مساحت است.

تعریف دایره

مجموعه نقاطی از صفحه که از نقطه ای ثابت O به فاصله ثابت r باشند.

شعاع دایره

پاره خطی که یک سر آن مرکز دایره و سر دیگر آن نقطه ای روی دایره باشد.

وتر دایره

پاره خطی که دو سر آن روی دایره باشد.

قطر دایره

بزرگترین وتر دایره که از مرکز دایره می گذرد.

هر نقطه نسبت به دایره سه وضعیت داخل، روی و بیرون دایره را دارد. تشخیص این موضوع به فاصله نقطه از مرکز دایره وابسته است.

\(\begin{array}{l}OA = r\\\\OB > r\\\\OC < r\end{array}\)

یک خط با یک دایره سه وضعیت متخارج، مماس و متقاطع را دارد، که از روی فاصله مرکز دایره تا خط قابل تشخیص است.

متخارج

\(OH > r\)

خط و دایره نقطه مشترک ندارند.

مماس

\(OH = r\)

خط و دایره یک نقطه اشتراک دارند.

متقاطع

\(OH < r\)

خط و دایره دو نقطه اشتراک دارند.

کمان دایره شامل دو نقطه روی دایره و تمام نقاط بین آن دو نقطه است. (هر کمان قسمتی از محیط دایره است.)

در شکل بالا دو نقطه A و B روی محیط دایره و کمان \(AB\) مشخص شده است.

زاویه ای که راس آن روی مرکز دایره و ضلع های آن شعاع دایره باشند.

زاویه ای است که راسش روی محیط دایره و ضلع هایش وتر های دایره باشند.

همان اندازه زاویه مرکزی مقابل به آن کمان می باشد و واحد آن درجه است. در دایره های هم مرکز کمان هایی با طول متفاوت؛ دارای اندازه برابر می باشند.

ناحیه ای از درون و روی دایره را، که به دو شعاع دایره و آن دایره محدود است یک قطاع دایره می نامند.

اگر طول کمان AB نظیر قطاع را L در نظر بگیریم از رابطه زیر حاصل می شود:

\(L = \frac{{2\pi r}}{{360}}\alpha \)

اثبات

\(\begin{array}{l}\frac{{\left| {AB} \right|}}{{360}} = \frac{{\mathop {AB}\limits^\frown {\mkern 1mu} }}{{2\pi r}} \Rightarrow \frac{\alpha }{{360}} = \frac{L}{{2\pi r}}\\\\ \Rightarrow L = \frac{{2\pi r}}{{360}}\alpha \end{array}\)

اگر مساحت قطاع که زاویه مرکزی آن \(\alpha \) می باشد را S در نظر بگیریم:

\(S = \frac{{\pi {r^2}}}{{360}}\alpha \)

اثبات:

می دانیم یک درجه، \(\frac{1}{{360}}\)  دایره است، پس مساحت قطاعی که زاویه مرکزی آن 1 درجه است؛ \(\frac{1}{{360}}\)  مساحت دایره است؛ در نتیجه مساحت قطاعی که زاویه مرکزی آن \(\alpha \) درجه است، \(\frac{\alpha }{{360}}\)  مساحت دایره است.

مساحت قطاع = \(\frac{\alpha }{{360}} \Rightarrow S = \frac{\alpha }{{360}} = \pi {r^2} \Rightarrow S = \frac{{\pi {r^2}}}{{360}}\alpha \)

در شکل زیر کمان AB نظیر و وتر AB می باشد.

قضیه 1

در هر دایره، قطر عمود بر وتر، آن وتر و کمان نظیر آن وتر را نصف می کند.

فرض: \(CD \bot AB\)

حکم: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}AH = BH\\\end{array}\\{\mathop {{\rm{AD}}}\limits^\frown {\mkern 1mu} = \mathop {{\rm{BD}}}\limits^\frown }\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{OA = OB}\\{}\\{OH = OH}\\{}\\\begin{array}{l} \Rightarrow O\mathop {{\rm{ }}A}\limits^\Delta H \cong O\mathop {{\rm{ }}B}\limits^\Delta H \Rightarrow {{\hat O}_1} = {{\hat O}_2}\\\\ \Rightarrow \mathop {{\rm{AD}}}\limits^\frown {\mkern 1mu} = \mathop {{\rm{BD}}}\limits^\frown \end{array}\end{array}\)

عکس قضیه 1

اگر قطری از دایره، وتر و کمان نظیر آن وتر را نصف کند، آنگاه قطر بر وتر عمود است.

فرض: \({\rm{AH = BH}}\,\,\,{\rm{,}}\,\,\,\mathop {{\rm{AD}}}\limits^\frown {\mkern 1mu} = \mathop {{\rm{BD}}}\limits^\frown \)

حکم: \(CD \bot AB\)

\(\begin{array}{l}AH = BH\\\\OH = OH\\\\OA = OB\\\\ \Rightarrow O\mathop A\limits^\Delta H \cong O\mathop B\limits^\Delta H \Rightarrow {H_1} = {H_2}\\\\ \Rightarrow {{\hat H}_1} = {{\hat H}_2} \Rightarrow CD \bot AB\end{array}\)

قضیه 2

اندازه هر زاویه محاطی برابر است با نصف اندازه کمان مقابل به آن زاویه.

فرض: زاویه محاطی \(\hat A\)

حکم: \(\hat A = \frac{{\mathop {BC}\limits^\frown {\mkern 1mu} }}{2}\)

اثبات:

با وصل کردن B به O داریم:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\hat O}_1} = \hat A + \hat B}\\{}\\{O\mathop {{\rm{ }}A}\limits^\Delta B:\hat A = \hat B}\\{}\\{ \Rightarrow {{\hat O}_1} = 2\hat A \Rightarrow \hat A = \frac{{{{\hat O}_1}}}{2} \Rightarrow {{\hat O}_1} = \mathop {BC}\limits^\frown {\mkern 1mu} }\\{}\\{ \Rightarrow \hat A = \frac{{\mathop {BC}\limits^\frown {\mkern 1mu} }}{2}}\end{array}\)

زاویه ای است که راس آن روی دایره قرار دارد و یک ضلع آن مماس بر دایره و ضلع دیگر آن (قاطع دایره) وتر دایره می باشد.

در شکل بالا زاویه \(B\hat AC\)  ظلی است.

قضیه

اندازه هر زاویه ظلی برابر نصف کمان رو به روی آن است.

فرض: ظلی \(\hat A\)

حکم: \(\hat A = \frac{{AB}}{2}\hat A = \frac{{\mathop {AB}\limits^\frown {\mkern 1mu} }}{2}\)

قطر گذرنده از A را رسم می کنیم تا دایره را در D قطع کند.

\(\begin{array}{*{20}{l}}{D\hat AC = {{90}^0} \Rightarrow D\hat AC = \frac{{\mathop {AD}\limits^\frown {\mkern 1mu} }}{2}}\\{}\\{{{\hat A}_1} = \frac{{\mathop {BD}\limits^\frown {\mkern 1mu} }}{2}}\\{}\\\begin{array}{l} \Rightarrow D\hat AC - {{\hat A}_1} = \frac{{\mathop {AD}\limits^\frown {\mkern 1mu} - \mathop {BD}\limits^\frown {\mkern 1mu} }}{2}\\\\ \Rightarrow \hat A = \frac{{\mathop {AB}\limits^\frown {\mkern 1mu} }}{2}\end{array}\end{array}\)

الف)

اگر دو وتر در خارج دایره متقاطع باشند، زاویه بین آنها برابر است با نصف تفاضل دو کمان مقابل به آن زاویه:

\(\hat M = \frac{{AB - A'B'}}{2}\)

اثبات (روش اول)

از \(B'\) خطی موازی \(AA'\) رسم می کنیم تا دایره را در C قطع کند.

\(\begin{array}{l}AA'\parallel CB' \Rightarrow \hat M = \hat B' = \frac{{BC}}{2}\\\\ \Rightarrow \frac{{AB - AC}}{2} = \frac{{AB - A'B'}}{2}\end{array}\)

اثبات (روش دوم)

از \(B'\) به A وصل می کنیم، زاویه \(B'\) زاویه خارجی مثلث \(A\mathop M\limits^\Delta B\)  است.

\(\begin{array}{l}\hat B' = \hat A = \hat M \Rightarrow \hat M = \hat B' - \hat A\\\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{2} - \frac{{A'B'}}{2} \Rightarrow \frac{{AB - A'B'}}{2}\end{array}\)

ب) اگر دو وتر در داخل دایره متقاطع باشند، زاویه بین آنها برابر است با نصف مجموع دو کمان مقابل به آن زاویه.

\(\hat M = \frac{{AB + A'B'}}{2}\)

اثبات

از A به \(\hat A\) وصل کنیم، زاویه مشخص شده M زاویه خارجی برای مثلث \(A\mathop {A'}\limits^\Delta M\)  می باشد.

خارجی \(\begin{array}{l}\hat M = \hat A + \hat A' = \frac{{A'B'}}{2} + \frac{{AB}}{2}\\\\ \Rightarrow \hat M = \frac{{AB + A'B'}}{2}\end{array}\)

اگر وتر های یک دایره یکدیگر را درون دایره قطع کنند یا امتداد وتر ها یکدیگر را در خارج دایره قطع کنند بین اندازه پاره خط های ایجاد شده روابطی برقرار است که در قضیه های زیر به آنها می پردازیم.

قضیه 1

هر گاه دو وتر دلخواه AB و CD یکدیگر را درون دایره در نقطه M قطع کنند، آنگاه:

\(MA \times MB = MC \times MD\)

اثبات

از A به D و از B به C وصل می کنیم در دو مثلث ایجاد شده داریم:

محاطی \(\hat A = \hat C = \frac{{BD}}{2}\)

محاطی \(\hat B = \hat D = \frac{{AC}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A\mathop M\limits^\Delta D \sim B\mathop M\limits^\Delta C \Rightarrow \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{MD}}{{MB}}\\\\ \Rightarrow AM \times MB = MC \times MD\end{array}\)

قضیه 2

هرگاه امتداد های دو وتر AB و CD یکدیگر را خارج دایره در نقطه M قطع کنند آنگاه:

\(MA \times MB = MC \times MD\)

اثبات

از A به D و از C به B وصل می کنیم، در مثلث ایجاد شده داریم:

\(\begin{array}{l}\hat B = \hat D = \frac{{AC}}{2}\\\\\hat M = \hat M\\\\A\mathop M\limits^\Delta D \sim C\mathop M\limits^\Delta B \Rightarrow \frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MD}}{{MB}}\\\\ \Rightarrow MA \times MB = MC \times MD\end{array}\)

قضیه 3

هرگاه از نقطه M خارج دایره یک مماس و یک قاطع بر دایره رسم کنیم، آنگاه مربع اندازه مماس برابر است با حاصل ضرب اندازه های دو قطعه قاطع، یعنی:

\(M{T^2} = MA \times MB\)

(به عبارت دیگر طول مماس واسطه هندسی بین دو قطعه قاطع است.)

اثبات

از T به A و B وصل می کنیم در دو مثلث \(M\mathop A\limits^\Delta T\)  و \(M\mathop B\limits^\Delta T\)  داریم:

\(\begin{array}{l}\hat B = \hat T = \frac{{AT}}{2}\\\\\hat M = \hat M\\\\ \Rightarrow M\mathop A\limits^\Delta T \sim M\mathop B\limits^\Delta T \Rightarrow \frac{{MA}}{{MT}} = \frac{{MT}}{{MB}}\\\\M{T^2} = MA \times MB\end{array}\)

نقطه دلخواه M خارج دایره \(C\left( {O,R} \right)\)  را در نظر می گیریم؛ حال دایره ای به قطر OM رسم می کنیم، به طوری که دایره \(C\left( {O,R} \right)\)  را در نقاط T و \(T'\) قطع کند، در این صورت خط های MT و \(MT'\) بر دایره \(C\left( {O,R} \right)\)  مماس هستند.

زیرا اگر از T و \(T'\) به O وصل کنیم، زاویه های T و \(T'\) محاطی رو به رو به قطر می باشند، پس \({90^0}\)  می باشند؛ لذا چون MT و \(MT'\) بر شعاع در نقطه T و \(T'\) عمودند، پس MT و \(MT'\) مماس بر دایره می باشند.

پاره خطی که مرکز های دو دایره را به هم وصل می کند را خط المرکزین گویند و با d نشان می دهند.

دو دایره \(C\left( {O,R} \right)\)  و \(C'\left( {O',R'} \right)\)  را بر فرض \(R\rangle R'\)  و \(OO' = d\)  در نظر می گیریم. حالت های مختلفی که این دو دایره می توانند نسبت به هم داشته باشند به صورت زیر است:

دو دایره برون هم (متخارج)

\(d\rangle R + R'\)

دو دایره مماس برون

\(d = R + R'\)

دو دایره متقاطع

\(R - R'\langle d\langle R + R'\)

دو دایره مماس درون

\(d = R - R'\)

دو دایره متداخل

\(d\langle R - R'\)

دایره های هم مرکز

\(d = 0\)

مماس مشترک دو دایره

خطی است که بر هر دو دایره مماس است.

مماس مشترک خارجی

اگر دو دایره در یک طرف خط مماس باشند، این خط را مماس مشترک خارجی می گویند.

مماس مشترک داخلی

اگر دو دایره در طورف خط مماس باشند، این خط را مماس مشترک داخلی می گویند.

طول مماس مشترک ها به صورت زیر محاسبه می شوند:

طول مماس مشترک خارجی: \(TT' = \sqrt {{d^2} - {{\left( {R - R'} \right)}^2}} \)

طول مماس مشترک داخلی: \(TT' = \sqrt {{d^2} - {{\left( {R + R'} \right)}^2}} \)

یک چند ضلعی را محاطی (محاط در دایره) می گوییم هرگاه تمام راس های آن روی محیط یک دایره باشند. (در این صورت دایره را، دایره محیطی آن چند ضلعی می نامیم.)

یک چند ضلعی را محیطی (محیط بر دایره) می گوییم، هر گاه تمام ضلع های آن بر یک دایره مماس باشند. (در اینصورت دایره را، دایره محاطی آن چند ضلعی می نامیم.)

هر نقطه روی نیم ساز هر زاویه، از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است و برعکس اگر نقطه ای از دو ضلع یک زاویه به یک فاصله باشد، روی نیم ساز آن زاویه است.

\(MH = MH'\)

دایره ای که از سه راس یک مثلث می گذرد، دایره محیطی مثلث نامیده می شود. (مرکز دایره محیطی مثلث نقطه همرسی عمود منصف است.)

دایره ای که بر هر سه ضلع مثلث مماس می باشد، دایره ی محاطی داخلی مثلث نامیده می شود. (مرکز دایره محاطی مثلث نقطه همرسی نیم ساز های زاویه های داخلی مثلث است.)

دایره ای که بر یک ضلع و امتداد دو ضلع دیگر آن مماس باشد، دایره محاطی خارجی مثلث نامیده می شود.

هر مثلث سه دایره محاطی خارجی دارد.

بر خلاف مثلث، همه چند ضلعی های دیگر، لزوما محاطی و محیطی نیستند. در این بخش به شرایط محاطی و یا محیطی بودن چهار ضلعی می پردازیم.

قضیه 1

یک چهار ضلعی محاطی است اگر و فقط اگر دو زاویه مقابل آن مکمل باشد.

فرض می کنیم ABCD محاطی است.

حکم: \(\begin{array}{l}\hat A + \hat C = 180\\\\\hat B + \hat D = 180\end{array}\)

اثبات

\(\begin{array}{l}\hat A = \frac{{BCD}}{2}\\\\\hat C = \frac{{BAD}}{2}\\\\ \Rightarrow \hat A + \hat C = \frac{{BCD + BAD}}{2} = \frac{{360}}{2} = {180^0}\\\\\hat B = \frac{{ADC}}{2}\\\\\hat D = \frac{{ABC}}{2}\\\\ \Rightarrow \hat B + \hat D = \frac{{ADC + ABC}}{2} = \frac{{360}}{2} = {180^0}\end{array}\)

قضیه 2

در یک چهار ضلعی محیطی مجموع اندازه های دو ضلع مقابل، برابر مجموع اندازه های دو ضلع مقابل دیگر است. (عکس قضیه نیز برقرار است.)

حکم: \(AB + CD = AD + BC\)

اثبات

قبلا دیدیم از هر نقطه بیرون دایره، دو مماس بر دایره رسم کنیم، اندازه های این دو مماس برابرند.

\(\begin{array}{l}AF = AE\\\\BF = BG\\\\CH = CG\\\\DH = ED\\\\ \Rightarrow AF + BF + CH + DH = AE + ED + BG + CG\\\\ \Rightarrow AB + CD = AD + BC\end{array}\)

یک چند ضلعی محدب را منتظم گوییم هر گاه تمام ضلع های آن هم اندازه و تمام زاویه های آن نیز هم اندازه باشند.

یکی از مفاهیم مهم در هندسه، تبدیل های هندسی است. وضعیت های مختلفی که هر شکل در اثر حرکت مجموعه نقاطش در صفحه پیدا می کند، در نتیجه یک تبدیل است.

تبدیل های مهم عبارت اند از: بازتاب، انتقال، دوران و تجانس

این تبدیل ها موقعیت یا اندازه شکل را تغییر می دهند.

تبدیل T در صفحه تابعی است که به هر نقطه A از صفحه دقیقا یک نقطه مانند \(A'\) از همان صفحه را نظیر کند.

\(\begin{array}{l}T:P \Rightarrow P\\\\T\left( A \right) = A'\end{array}\)

هر تبدیلی که طول پاره خط را حفظ می کند تبدیل طولپا یا ایزومتری نامیده می شود؛ به عبارت دیگر:

اگر \(A'\) تصویر A تحت تبدیل T باشد آنگاه \(T\left( A \right) = A'\)

اگر \(B'\) تصویر B تحت تبدیل T باشد آنگاه \(T\left( B \right) = B'\)

حال اگر T ایزومتری باشد آنگاه \(AB = A'B'\)

قضیه

هر تبدیل طولپا اندازه زاویه را حفظ می کند. (یعنی اندازه زاویه تصویر و خود زاویه مساوی است.)

اثبات

فرض کنیم T تبدیل طولپا باشد و زاویه \(A'\hat O'B'\)  تصویر \(A\hat OB\)  تحت این تبدیل باشد.

\(\begin{array}{l}T\left( A \right) = A'\\\\T\left( O \right) = O'\\\\T\left( B \right) = B'\\\\ \Rightarrow AO = A'O'\\\\BO = B'O'\\\\AB = A'B'\\\\ \Rightarrow A\mathop O\limits^\Delta B \cong A'\mathop {O'}\limits^\Delta B' \Rightarrow \hat O = \hat O'\end{array}\)

نقطه ای که تصویر آن بر خودش منطبق باشد، نقطه ثابت تبدیل می نامیم.

بازتاب نسبت به خط d تبدیلی است که در آن تصویر نقطه ای مانند A نقطه \(A'\) است به طوری که d عمود منصف پاره خط \(AA'\) خواهد بود.

D را محور تقارن بازتاب می گویند.

برای پیدا کردن بازتاب یک نقطه مانند A نسبت به خط d کافی است از نقطه A به خط داده شده عمود کنیم سپس از پای عمود به اندازه خودش امتداد دهیم تا \(A'\) بدست آید.

1. بازتاب شیب را لزوما حفظ نمی کند؛ مگر اینکه خط موازی محور بازتاب یا عمود بر محور بازتاب باشد.
2. بازتاب نسبت به خط ایزومتری (طولپا) است یعنی اندازه پاره خط ها را تغییر نمی دهد و شکل و تصویرش همنهشت اند.
3. بازتاب نسبت به خط، اندازه زاویه را تغییر نمی دهد، اما جهت زاویه و جهت شکل را تغییر می دهد.
4. بازتاب نسبت به خط دارای بیشمار نقطه ثابت تبدیل است که همگی روی محور بازتاب قرار دارند.
5. بازتاب، محیط و مساحت شکل را حفظ می کند.

قضیه

ثابت کنید بازتاب یک تبدیل طولپا است. (یعنی اندازه هر پاره خط و تصویرش در تبدیل بازتاب برابرند.)

اثبات

حالت های مختلف یک پاره خط نسبت به محور بازتاب را در نظر می گیریم.

الف)

فرض: \(AB\parallel d\)

حکم: \(AB = A'B'\)

در این حالت چون دو خط عمود بر یک خط باهم موازی هستند، لذا چهارضلعی \(ABB'A'\) مستطیل می باشد و از آنجا واضح است که:

\(AB = A'B'\)

ب)

AB و d متقاطع به صورت شکل بالا باشد:

\(\begin{array}{l}BH = B'H\\\\{H_1} = {H_2} = {90^0}\\\\AH = A'H\\\\ \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta H \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta H \Rightarrow AB = A'B'\end{array}\)

ج)

AB و d نه موازی باشد و نه متقاطع باشد:

AB را امتداد می دهیم تا خط d را در M قطع کند:

\(\begin{array}{l}MB = MB' \Rightarrow MB - MA\\\\ \Rightarrow MB' - MA' \Rightarrow AB = A'B'\end{array}\)

د)

AB و d متقاطع به صورت شکل بالا باشد:

\(\begin{array}{l}AM = A'M\\\\BM = B'M\\\\ \Rightarrow AM + BM = A'M + B'M\\\\ \Rightarrow AB = A'B'\end{array}\)

یک بردار دارای ابتد، انتها، اندازه و راستا می باشد.

دو بردار مساوی

دو بردار که هم اندازه، هم راستا و هم جهت باشند دو بردار مساوی می باشند.

برای انتقال دادن یک شکل کافی است تصویر هر نقطه از شکل را به کمک بردار انتقال پیدا کنیم، مثلا نقطه A را به اندازه مختصات بردار انتقال جا به جا می کنیم، تصویر آن یعنی \(A'\) بدست می آسد.

در واقع اگر \(A'\) تصویر A به کمک بردار انتقال \(\mathop V\limits^ \to \) باشد، آنگاه \(\mathop {AA'}\limits^ \to = \mathop V\limits^ \to \)

تعریف انتقال

انتقال تحت بردار \(\mathop V\limits^ \to \) تبدیلی است که در آن اگر \(A'\) تصویر A بوسیله آن تبدیل باشد، آنگاه \(\mathop {AA'}\limits^ \to = \mathop V\limits^ \to \)  همچنین (\(\mathop {AA'}\limits^ \to \parallel \mathop V\limits^ \to \) )

به عبارت دیگر پاره خطی که هر نقطه را به تصویرش در انتقال وصل می کند با بردار انتقال مساوی و موازی است.

1. انتقال ایزومتری است و انتقال یافته هر شکل با خودش همنهشت است.
2. انتقال شیب خط و جهت شکل را حفظ می کند.
3. انتقال اندازه زاویه را حفظ می کند.
4. در انتقال بردار هایی که هر نقطه را به تصویرش وصل می کند با بردار انتقال موازی و مساوی است.

قضیه

ثابت کنید انتقال یک تبدیل طولپا است.

حکم: \(AB = A'B'\)

اثبات

حالت های مختلفی برای پاره خط AB و بردار انتقال \(\mathop V\limits^ \to \) در نظر می گیریم.

الف)

اگر AB با بردار انتقال موازی نباشد در این صورت در چهارضلعی \(AA'BB'\) داریم:

\(\mathop V\limits^ \to \;,\;AA'\;,\;BB'\)  مساوی و موازی هستند بنابراین چهارضلعی \(AA'BB'\) متوازی الاضلاع است و در نتیجه:

\(AB = A'B'\)

ب)

اگر \(AB\parallel \mathop V\limits^ \to \)  و \(AB\rangle \mathop V\limits^ \to \)

\(\begin{array}{l}AB = AA' + A'B\\\\A'B' = A'B + BB'\\\\AA' = BB' = \mathop V\limits^ \to \\\\ \Rightarrow AB = A'B'\end{array}\)

پ)

اگر \(\mathop {AB}\limits^ \to \parallel \mathop V\limits^ \to \)  و \(\mathop {AB}\limits^ \to \langle \mathop V\limits^ \to \)

\(\begin{array}{l}AB = AA' - BA'\\\\A'B' = BB' - BA'\\\\AA' = BB' = \mathop V\limits^ \to \\\\ \Rightarrow AB = A'B'\end{array}\)

در سال های گذشته دیدید که برای دوران دادن هر شکل به مرکز دوران O و به اندازه زاویه \(\alpha \)، کتفی است هر نقطه از شکل مانند نقطه P را به مرکز دوران یعنی O وصل کنیم؛ سپس در جهت خواسته شده به کمک OP زاویه ای برابر \(\alpha \) رسم و روی ضلع دیگر این زاویه پاره خطی به اندازه OP جدا می کنیم، تا نقطه \(P'\) بدست آید.

دوران R به مرکز نقطه ثابت O و زاویه \(\alpha \) تبدیلی از صفحه است که در آن \(A'\) تصویر نقطه A (در دوران به مرکز O و زاویه \(\alpha \)) است هر گاه دو شرط زیر برقرار باشد:

1) \(OA = OA'\)

2) \(A\hat OA = \alpha \)

1. دوران شیب خط را لزوما حفظ نمی کند.
2. دوران ایزومتری (طولپا) است و دوران یافته شکل با خودش همنهشت است.
3. دوران جهت شکل را تغییر نمی دهد.
4. دوران اندازه زاویه را حفظ می کند.

قضیه

ثابت کنید دوران طولپا است.

حکم: \(AB = A'B'\)

اثبات

الف)

حالتی را در نظر می گیریم که مرکز دوران بر پاره خط AB و امتداد آن واقع نباشد و زاویه دوران از زاویه \(A\hat OB\)  بیشتر باشد.

با توجه به شکل: \(\alpha = {O_1} + {O_2} = {O_2} + {O_3} \Rightarrow {\hat O_1} = {\hat O_3}\)

\(\begin{array}{l}{{\hat O}_1} = {{\hat O}_3}\\\\OA = OA'\\\\OB = OB'\\\\ \Rightarrow O\mathop A\limits^\Delta B \cong O\mathop {A'}\limits^\Delta B' \Rightarrow AB = A'B'\end{array}\)

ب)

حالتی را در نظر می گیریم که O روی امتداد AB باشد.

\(\begin{array}{l}AB = AO - OB\\\\A'B' = A'O - OB'\\\\OA = OA'\;,\;OB = OB'\\\\ \Rightarrow AB = A'B'\end{array}\)

یک تبدیل هندسی در صفحه است که تحت آن شکل های مشابه ایجاد می شود؛ در تجانس ابعاد شکل به یک نسبت ثابت بزرگ یا کوچک می شود، این نسبت ثابت را نسبت تجانس (مقیاس) می نامند و با نماد k نشان می دهند.

تجانس به مرکز O و نسبت k تبدیلی است که در آن \(M'\) مجانس M است هر گاه:

1) نقاط O، M و \(M'\) روی یک امتداد باشند.

2) \(OM' = \left| k \right|.OM\)

ضابطه تبدیل تجانس

تجانس به مرکز \(O\left( {0,0} \right)\)  و نسبت k به صورت \(D\left( {x,y} \right) = \left( {kx\;,\;ky} \right)\)  می باشد.

در تجانس به مرکز مبدا مختصات و نسبت k اگر \(M'\left( {x',y'} \right)\)  تصویر \(M\left( {x,y} \right)\)  باشد آنگاه:

\(\begin{array}{l}x' = kx\\\\y' = ky\\\\ \Rightarrow M'\left( {x',y'} \right) = \left( {kx,ky} \right)\end{array}\)

هرگاه بخواهیم در تجانس به مرکز O و نسبت k، تصویر نقطه ای مانند M را پیدا کنیم، ابتدا از M به O وصل کرده و سپس با توجه به رابطه \(OM' = KOM\)  و علامت k، فقط \(M'\) در جهت OM یا خلاف جهت آن مشخص می شود.

1. اگر در تجانس \(k > 0\)  باشد، آن را تجانس مستقیم می نامند.
2. اگر در تجانس \(k < 0\)  باشد آن را تجانس معکوس می نامند.
3. اگر \(\left| k \right| < 1\)  باشد تصویر شکل کوچک تر می شود و آن را انقباض می نامیم.
4. اگر \(\left| k \right| > 1\)  باشد تصویر شکل بزرگ تر می شود و آن را انبساط می نامیم.
5. اگر \(\left| k \right| = 1\)  باشد، تجانس ایزومتری (طولپا) است.
6. خطوطی که هر نقطه را به تصویر مجانسش وصل می کند در مرکز تجانس همرس می باشند.
7. تجانس جهت شکل را تغییر نمی دهد.
8. تجانس شیب خط را حفظ می کند.
9. تجانس تبدیل طولپا نمی باشد.
10. تجانس اندازه زاویه را حفظ می کند.

قضیه 1

ثابت کنید تجانس شیب خط را حفظ می کند.

اثبات

تجانس D به مرکز O و نسبت \(k > 0\)  و خط AB را در 2 حالت در نظر می گیریم.

الف)

نقطه O روی AB باشد. در این صورت اگر \(A'\) و \(B'\) مجانس های A و B باشند روی خط AB قرار می گیرند، لذا \(A'B'\) روی AB واقع است و شیب خط تغییری نمی کند.

ب)

فقط O روی AB نباشد.

در این صورت اگر \(A'\) و \(B'\) مجانس های A و B باشند، طبق تعریف تجانس داریم:

\(\begin{array}{l}OA' = k.OA\\\\OB' = k.OB\\\\ \Rightarrow \frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{OB'}}{{OB}} = k \Rightarrow AB\parallel A'B'\end{array}\)

قضیه 2

ثابت کنید تجانس اندازه زاویه را حفظ می کند.

می دانیم تجانس شیب خط را حفظ می کند لذا خط و تصویر تجانس موازی اند.

\(\begin{array}{l}AB\parallel A'B' \Rightarrow {{\hat B}_1} = {{\hat B'}_1}\\\\BC\parallel B'C' \Rightarrow {{\hat B}_2} = {{\hat B'}_2}\\\\ \Rightarrow {{\hat B}_1} + {{\hat B}_2} = {{\hat B'}_1} + {{\hat B'}_2} \Rightarrow \hat B = \hat B'\end{array}\)

تبدیلی که هر نقطه صفحه را به خود آن نقطه نظیر می کند تبدیل همانی نامیده می شود.

به عبارت دیگر تبدیل T را همانی گوییم هرگاه به ازای هر نقطه A از صفحه P داشته باشیم:

\(T\left( A \right) = A\)

تبدیل همانی طولپا است؛ زیرا تصویر هر پاره خط بر خودش منطبق است به عبارتی:

\(\begin{array}{l}A' = I\left( A \right) = A\\\\B' = I\left( B \right) = B\\\\ \Rightarrow A'B' = AB\end{array}\)

بازتاب علاوه بر شاخه های مختلف ریاضی در دیگر علوم نظیر هنر، معماری، فیزیک و ... کاربرد دارد. مثلا در فیزیک ویژگی های بازتاب همان ویژگی های آینه تخت است.

هرگاه بخواهیم شکلی را به تکه های برابر تقسیم کنیم می توانیم از بازتاب استفاده کنیم زیرا بازتاب همان قرینه یابی است.

در این گونه مسائل هدف این است که بدون اینکه محیط یک چند ضلعی تغییر کند، مساحت آن چند ضلعی را تغییر دهیم.

نخستین بار توسط ریاضی دانی به نام هرون 150 تا 250 سال قبل از میلاد مسیح دستور پیدا کردن کوتاه ترین مسیر در شرایط خاص ارائه شد.

در هر مثلث قائم الزاویه، هر ضلع قائم واسطه هندسی وتر و تصویر آن ضلع بر وتر است:

1) \(A{B^2} = BC \times BH\)

2) \(A{C^2} = BC \times CH\)

ارتفاع های وارد بر وتر واسطه هندسی قطعه های ایجاد شده، روی وتر است:

3) \(A{H^2} = BH \times CH\)

رابطه فیثاغورس:

4) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

حاصل ضرب اضلاع قائمه برابر است با حاصل ضرب وتر و ارتفاع وارد بر وتر:

5) \(AB \times AC = BC \times AH\)

در مثلث دلخواه ABC داریم:

\(\frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A}} = \frac{b}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B}} = \frac{c}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} C}} = 2R\)

اثبات:

حالت اول: \(A < {90^0}\)

قطر BD را رسم می کنیم و D را به A وصل می کنیم. دو زاویه D و C محاطی و رو به رو به کمان AB هستند، لذا با هم  برابر هستند:

\(\hat D = \hat C = \frac{{AB}}{2}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {BAD}\limits^\Delta = {90^0}\\\\{\mathop{\rm Sin}\nolimits} D = \frac{c}{{BD}} \Rightarrow {\mathop{\rm Sin}\nolimits} C = \frac{c}{{BD}}\\\\ \Rightarrow \frac{c}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} C}} = BD = 2R\\\\\frac{b}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B}} = 2R\;,\;\frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A}} = 2R\\\\ \Rightarrow \frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A}} = \frac{b}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B}} = \frac{c}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} C}} = 2R\end{array}\)

حالت دوم: \(A > {90^0}\)

نقطه دلخواه \(A'\) روی کمان BC را به B و C وصل می کنیم.

A و \(A'\) مکمل یکدیگرند یعنی \(\hat A + \hat A' = {180^0}\)  زیرا \(ABA'C\)  چهار ضلعی محاطی است پس قضایای اثبات شده زاویه های مقابل مکمل اند.

\(\begin{array}{l}\hat A + \hat A' = {180^0} \Rightarrow A > {90^0} \Rightarrow A' < {90^0}\\\\\frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A'}} = 2R\\\\ \Rightarrow {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A = {\mathop{\rm Sin}\nolimits} \left( {180 - A'} \right) = {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A'\\\\ \Rightarrow \frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A}} = 2R\;,\;\frac{b}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B}} = 2R\;,\;\frac{c}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} C}} = 2R\end{array}\)

از قبل می دانیم در مثلث قائم الزاویه با داشتن دو ضلع قائمه از رابطه فیثاغورس می توان ضلع سوم را بدست آورد.

رابطه فیثاغورس: \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

در هر مثلث، مربع اندازه هر ضلع برابر است با مجموع مربع های اندازه های دو ضلع دیگر منهای دو برابر حاصل ضرب آنها در کسینوس زاویه بین آنها.

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac{\mathop{\rm Cos}\nolimits} B\\\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab{\mathop{\rm Cos}\nolimits} C\end{array}\)

اثبات

رابطه اول را ثابت می کنیم دو رابطه دیگر به طور مشابه اثبات می شوند.

حالت اول در مثلث ABC زاویه \(\hat A < {90^0}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {ABH}\limits^\Delta :{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A = \frac{{AH}}{c} \Rightarrow AH = c \times {\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\CH = b - AH \Rightarrow CH = b - c{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A = \frac{{BH}}{c} \Rightarrow BH = c \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A\\\\{a^2} = B{H^2} + C{H^2}\\\\ \Rightarrow {a^2} = {\left( {c \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A} \right)^2} + {\left( {b - c{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A} \right)^2}\\\\{a^2} = {c^2}{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} ^2}A + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A + {c^2}{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} ^2}A\\\\{a^2} = {c^2}\left( {{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} }^2}A + {{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} }^2}A} \right) + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\{a^2} = {c^2} + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\end{array}\)

حالت دوم در مثلث ABC زاویه \(A > {90^0}\)  باشد.

\(\begin{array}{l}{A_1} = 180 - A\\\\ \Rightarrow {\mathop{\rm Sin}\nolimits} {A_1} = {\mathop{\rm Sin}\nolimits} \left( {180 - A} \right) = {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A\\\\ \Rightarrow {\mathop{\rm Cos}\nolimits} {A_1} = {\mathop{\rm Cos}\nolimits} \left( {180 - A} \right) = - {\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\{\mathop{\rm Cos}\nolimits} {A_1} = \frac{{AH}}{C} \Rightarrow AH = c \times {\mathop{\rm Cos}\nolimits} {A_1}\\\\ \Rightarrow AH = - c \times {\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\ \Rightarrow CH = b - c{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\ \Rightarrow BH = c \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A\\\\B{C^2} = B{H^2} + C{H^2}\\\\{a^2} = {\left( {C{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A} \right)^2} + {\left( {b - c{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A} \right)^2}\\\\{a^2} = {c^2}{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} ^2}A + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A + {c^2}{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} ^2}A\\\\{a^2} = {c^2}\left( {{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} }^2}A + {{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} }^2}A} \right) + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\ \Rightarrow {a^2} = {c^2} + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\end{array}\)

در مثلث ABC میانه AM را رسم کرده ایم، ثابت کنید:

\({b^2} + {c^2} = 2A{M^2} + \frac{{{a^2}}}{2}\)

با استفاده از قضیه کسینوس ها در دو مثلث \(\mathop {ABM}\limits^\Delta \)  و \(\mathop {ACM}\limits^\Delta \)  داریم:

\(\begin{array}{l}\mathop {ABM}\limits^\Delta :A{B^2} = A{M^2} + B{M^2} - 2AM.BM{\mathop{\rm Cos}\nolimits} \alpha \\\\ \Rightarrow {c^2} = A{M^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} - 2AM.\left( {\frac{a}{2}} \right){\mathop{\rm Cos}\nolimits} \alpha \\\\\mathop {ACM}\limits^\Delta :A{C^2} = A{M^2} + C{M^2} - 2AM.CM - {\mathop{\rm Cos}\nolimits} \alpha \\\\ \Rightarrow {b^2} = A{M^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + 2AM.\left( {\frac{a}{2}} \right){\mathop{\rm Cos}\nolimits} \alpha \\\\{c^2} + {b^2} = 2A{M^2} + \frac{{{a^2}}}{2}\end{array}\)

در هر مثلث نیم ساز زاویه داخلی، ضلع رو به رو به آن زاویه را به نسبت اندازه های دو ضلع دیگر مثلث تقسیم می کند.

فرض: \({\hat A_1} = {\hat A_2}\)

حکم: \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

اثبات

از نقطه C خطی موازی با نیم ساز AD رسم می کنیم تا امتداد AB را در E قطع کند.

\(\begin{array}{l}AD\parallel EC \Rightarrow {{\hat A}_2} = {{\hat C}_1}\\\\AD\parallel EC \Rightarrow {{\hat A}_1} = \hat E\\\\ \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat A}_2} \Rightarrow {{\hat C}_1} = \hat E\\\\ \Rightarrow A\mathop E\limits^\Delta C \Rightarrow AE = AC\\\\\mathop {BEC}\limits^\Delta :AD\parallel EC \Rightarrow \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AE}}\\\\ \Rightarrow AE = AC \Rightarrow \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\end{array}\)

در هر مثلث، مربع اندازه هر نیم ساز داخلی برابر است با حاصل ضرب اندازه دو ضلع زاویه، منهای حاصل ضرب اندازه ی دو قطعه ای که نیم ساز روی ضلع مقابل ایجاد می کند.

حکم: \(A{D^2} = AB \times AC - BD \times DC\)

اثبات

ابتدا دایره محیطی مثلث ABC را رسم می کنیم و نیم ساز AD را امتداد می دهیم تا دایره محیطی را در نقطه E قطع کند.

\(\begin{array}{l}AD \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat A}_2}\\\\\hat B = \hat E = \frac{{AC}}{2}\\\\\mathop {ABD}\limits^\Delta \sim \mathop {AEC}\limits^\Delta \Rightarrow \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{BD}}\\\\ \Rightarrow \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}} \Rightarrow AB \times AC = AD \times AE\\\\ \Rightarrow AE = AD + DE\\\\ \Rightarrow AB \times AC = AD\left( {AD + DE} \right)\\\\ \Rightarrow AB \times AC = A{D^2}AD \times AE\\\\ \Rightarrow AD \times AE = BD \times DC\\\\ \Rightarrow AB \times AC = A{D^2}BD \times DC\\\\ \Rightarrow A{D^2} = AB \times AC - BD \times DC\end{array}\)

مساحت مثلث ABC با طول اضلاع a، b و c از رابطه زیر حاصل می شود:

\(S = \sqrt {P\left( {P - a} \right)\left( {P - b} \right)\left( {P - c} \right)} \)

P نصف محیط است یعنی:

\(P = \frac{{a + b + c}}{2}\)

قضیه

مساحت هر مثلث برابر است با نصف حاصل ضرب اندازه دو ضلع در سینوس زاویه بین آنها.

حکم: \({S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = \frac{1}{2}AB \times BC \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} B\)

اثبات

\(\begin{array}{l}{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH = AB \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} \hat B\\\\{S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = \frac{1}{2}AH \times BC\\\\ \Rightarrow {S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = \frac{1}{2}AB \times BC \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} B\end{array}\)