جواب پرسش ها و مسئله های فصل 4 صفحه 111 درس 4 فیزیک دوازدهم ریاضی (برهم کنش های موج)

بدیهی است که یک پژواک صدای اول مربوط به صخره نزدیک تر و زمان دریافت آن 1/50 s پس از فریاد زدن و پژواک صدای دوم مربوط به صخره دورتر و زمان دریافت آن \((1\,s + 1/5\,s = )\,2/5\,s\) پس از فریاد زدن است. چون مسافت پیموده شده در هر پژواک d 2 است، به ترتیب داریم :

\(\begin{array}{l}2{d_1} = v{t_1}\\\\2{d_2} = v{t_2}\end{array}\)

الف تندی صوت را از رابطه اول به دست می آوریم :

\(v = \frac{{2{d_1}}}{{{t_1}}} = \frac{{480}}{{1/5}} = 320\,m/s\)

ب اکنون با دانستن تندی V می توانیم با استفاده از رابطه دوم، 2d را محاسبه کنیم :

\({d_2} = \frac{{v{t_2}}}{2} = \frac{{320 \times 2/5}}{2} = 400\,m\)

پس فاصله بین دو صخره:

\(d = {d_1} + {d_2} = 320 + 400 = 720\,m\)

اگر فاصله شما از پلکان به حد کافی زیاد باشد، به طوری که بتوان مانند شکل زیر مسیر تپ های متوالی را تقریبا موازی در نظر گرفت، شما بسامد ثابتی برای رشته تپ های متوالی درک می کنید.

این صدا به صورت رشته ای دوره ای از تپ ها باز می گردد و مانند یک نُت نواخته شده درک می شود. بدیهی است اگر پهنای پله ها کوچک تر باشد، بسامد ادراک شده بیشتر می شود.

البته در واقع امر، مسیر تپ های متوالی که هرکدام از یک پله نشأت گرفته اند، موازی نیست و بسامد ثابتی را برای رشته تپ های متوالی درک نمی کنید، بلکه گستره ای از بسامد ها را درک می کنید که به تدریج کم می شوند. به طوری که بسامد دریافتی از پله های پایینی بیشتر از بسامد دریافتی از پله های بالایی است. و بدین ترتیب صدا را به صورت رشته ای دوره ای از تپ ها می شنوید.

هنگامی که باریکه لیزری به دیوار کلاس برخورد می کند دیوار به عنوان یک سطح ناهموار باعث می شود باز تابش لیزر به صورت نامنظم و در همه جهات صورت گیرد و به همه دانش آموزان کلاس می رسد و همه آنها یک نقطه روشن روی دیوار را می بینند.

با نزدیک شدن امواج به یک ساحل شیب دار و رسیدن جبهه های موج به ساحل که در آنجا عمق آب کم می شود، جهت انتشار موج تغییر می کند. به عبارتی با ورود امواج از ناحیه عمیق به ناحیه کم عمق، تندی آنها کم می شود.

در این شکل می‌توانید پدیده شکست موج (Wave Refraction) را مشاهده کنید:

1 در آب عمیق (سمت چپ): جبهه‌های موج به‌صورت موازی و مستقیم با سرعت ثابت حرکت می‌کنند.

2 با کاهش عمق (نزدیک ساحل): بخشی از جبهه موج که زودتر به آب کم‌عمق می‌رسد، به دلیل اصطکاک با بستر دریا کندتر می‌شود، در حالی که بخش دیگر در آب عمیق‌تر همچنان با سرعت بیشتری حرکت می‌کند.

پاسخ صحیح پرتو C است.

تحلیل فیزیکی مسئله:

هنگامی که یک پرتوی نور از محیطی با ضریب شکست کمتر (مانند هوا با ضریب شکست تقریبی ۱) وارد محیطی با ضریب شکست بیشتر (مانند شیشه با ضریب شکست تقریبی 1/52) می‌شود، تندی آن کاهش می‌یابد. طبق قانون شکست اسنل \(({n_1}\sin {\theta _1} = {n_2}\sin {\theta _2})\)، در این حالت زاویه شکست \(({\theta _2})\) باید کوچک‌تر از زاویه تابش \(({\theta _1})\) باشد؛ به این معنی که پرتو شکست‌یافته باید به سمت خط عمود خم شود.

با بررسی پرتوهای رسم‌شده در شکل:

• پرتو A: از خط عمود دور شده است (زاویه آن نسبت به خط عمود بزرگ‌تر از زاویه تابش است). این حالت تنها زمانی رخ می‌دهد که نور از محیط غلیظ (مانند شیشه) وارد محیط رقیق (مانند هوا) شود.
• پرتو B: بدون هیچ‌گونه انحرافی در امتداد پرتو فرودی رسم شده است. این حالت در مرز دو محیط با ضریب شکست متفاوت رخ نمی‌دهد.
• پرتو C: به درستی به سمت خط عمود خم شده و زاویه آن با خط عمود کوچک‌تر از زاویه تابش است.
• پرتو D: دقیقاً روی خط عمود منطبق شده است. پرتوی نور تنها در صورتی مماس بر خط عمود حرکت می‌کند که زاویه تابش آن صفر باشد (تابش کاملاً عمود بر سطح)، که در این شکل چنین نیست.

بنابراین، تنها پرتوی C رفتار فیزیکی درست نور در ورود از هوا به شیشه را نشان می‌دهد.

الف

ادامه موج EF، پرتوی شکسته شده در محیط B است که باید موازی با D باشد. به عبارتی پرتوهای شکسته باید موازی هم باشند.

ب

با عبور موج از محیطی به محیط دیگر، بسامد موج تغییر نمی کند.

پ

از روی شکل در می یابیم \({\lambda _1}\) بزرگتر از \({\lambda _2}\) و بنابراین \({v_1}\) بزرگتر از \({v_2}\)است. به عبارتی با دانستن فاصله ی بین جبهه های موج در دو محیط می توان درباره نسبت تندی موج در دو محیط اظهار نظر کرد.

الف

برای موج شکسته، به جز بسامد، سایر مشخصه ها با موج فرودی متفاوت است. چرا که تندی و طول موج تغییر می کنند و این دو به ضریب شکست بستگی دارند. در حالی که برای موج بازتابیده، بسامد، طول موج و تندی با طول موج فرودی برابر است.

ب

امتداد پرتوها بر اثر شکست تفاوت پیدا می کند. نخست باید پرتو موج را رسم کنید و سپس جبهه های موج را باید به گونه ای رسم کنیم که این پرتو عمود بر آنها باشد. در مورد جبهه های موج بازتابیده، چون در خود محیط بازتابیده می شوند، فاصله خطوط تغییر نمی کند و بنابراین برای موج بازتابیده شکلی مانند زیر خواهیم داشت.

برای جبهه های موج شکست یافته نیز نخست یک پرتوی شکست یافته را رسم می کنیم و سپس جبهه های موج مربوط به آنرا نشان می دهیم. توجه کنید که فاصله جبهه های موج در شیشه کوتاه تر است.

الف

\(f = \frac{v}{\lambda } = \frac{c}{{{\lambda _ \circ }}} = \frac{{3 \times {{10}^8}}}{{633 \times {{10}^{ - 9}}}} = 4/739 \times {10^{14}}{\mkern 1mu} {\rm{Hz}}\)

ب

\(n = \frac{{{\lambda _ \circ }}}{\lambda } = \frac{{633 \times {{10}^{ - 9}}}}{{474 \times {{10}^{ - 9}}}} = 1/335\)

پ

\(v = \frac{c}{n} = \frac{{3 \times {{10}^8}}}{{1/335}} = 2/247 \times {10^8}{\mkern 1mu} {\rm{m/s}}\)

نخست شاید بهتر باشد دید از بالا را بررسی کنیم تا با رسم نموداری پرتوی به حسی از این مطلب برسید. دو پرتو از نقطه ای از سکه رسم می کنیم که در زاویه کوچکی از خط عمود بر سطح آب قرار دارند. به دلیل شکسته شدن پرتوها و ورود آنها از محیطی با ضریب شکست بیشتر به محیطی با ضریب شکست کمتر، آنها در محل خروج از سطح آب، از خط عمود دور می شوند و اینطور به نظر می رسد که امتداد آنها در نقطه ای بالاتر از کف فنجان همدیگر را قطع می کنند. همین باعث می شود عمق فنجان را کمتر ببینیم.

به طور محاسبه ای هم می توانیم رابطه ای را به دست آوریم. چون در این وضعیت زاویه ها کوچک اند، داریم :

و در نتیجه از قانون اسنل داریم:

\(\begin{array}{l}\sin \theta = \tan \theta \\\\ \Rightarrow \tan {\theta _2} = {n_1}\tan {\theta _1}\\\\ \Rightarrow \frac{x}{d} = {n_1}\frac{x}{d}\\\\ \Rightarrow d = \frac{d}{{{n_1}}}\end{array}\)

بنابراین برای شخصی که تقریبا به طور عمود نگاه می کند عمق ظاهری 1/n عمق واقعی می شود ولی توجه کنید که در این حالت جابجایی افقی ناچیز است. ولی اگر کسی به طور مایل نگاه کند، افزون بر جابجایی قائم، یک جابجایی افقی نیز وجود دارد و همانطور که در شکل زیر برای داده هایی خاص نشان داده شده است، تصویر در هر دو امتداد قائم و افقی به ناظر نزدیک می شود. البته محل این تصویر یکتا نیست و هرچه پرتوهایی که به چشم ناظر می رسند افقی تر گردند، تصویر به ناظر نزدیک تر می گردد که بدیهی است بیشترین آن برای پرتوهایی است که نزدیک به زاویه حد به سطح جدایی می تابند.

در اینجا n₁ و n₂ به ترتیب ضریب شکست آب و هوا است، بنابراین داریم :

\(\begin{array}{l}\sin {\theta _2} = \frac{{{n_1}\sin {\theta _1}}}{{{n_2}}} = \frac{{1/33\sin {{30}^ \circ }}}{1} = 0/665\\\\ \Rightarrow {\theta _2} = 41/{7^ \circ }\end{array}\)

چند نکته: یکی اینکه با توجه به اینکه نور از محیط با ضریب شکست بیشتر وارد محیط با ضریب شکست کمتر می شود باید پرتوهای نور شکسته شده (در سمت درستی) از خط عمود دور شوند و دیگر اینکه به پاشندگی نور توجه کنیم و ترتیب و توالی شکست پرتوها درست باشد. بنابراین نخست باید خط عمود را رسم کنیم. از آنجا در می یابیم که شکل ب اصلا از لحاظ منطقی نادرست است. پرتوی قرمز تقریبا در امتداد خط عمود و پرتوی آبی تقریبا در سمت نادرست شکسته شده است. شکل پ این مشکل را ندارد و پرتوها در سمتی درست شکسته شده اند، ولی اگر توجه کنید در می یابید که پرتو آبی به خط عمود نزدیک شده است و بنابراین کلیت این شکل نیز نادرست است. ولی شکل های الف و ت این هر دو مشکل را ندارند، هم پرتوها در سویی مناسب شکسته شده اند و هم هر دو پرتو از خط عمود دور شده اند. منتها همانطور که در مبحث پاشندگی دیدیم پرتوی آبی باید بیشتر از پرتو قرمز شکست پیدا کند و بنابراین پاسخ درست (ت) است.

با استفاده از یک منشور به سادگی می توانیم بین این دو نظر، یکی را انتخاب کنیم. اگر نور زرد، ترکیبی باشد در منشور تجزیه می شود و می توانیم نورهای قرمز و سبز را مشاهده کنیم.

با باریک کردن پهنای شکاف، پدیده پراش به طور آشکارتری خود را نشان می دهد و موجی که از شکاف خارج می شود از حالت موج تخت بیشتر خارج می شود و در حالتی که پهنای شکاف در حدود طول موج باشد موج های تخت به صورت امواج نیم دایره ای گسترده می شوند.

نخست طول موج این امواج را محاسبه می کنیم :

\(\lambda = \frac{v}{f} = \frac{c}{f} = \frac{{3 \times {{10}^8}}}{{2 \times {{10}^9}}} = 0/15\,m\)

این امواج از اجسامی به قطر حدود 15 cm با کوچک تر، به خوبی پراشیده می شوند.

جابجایی کل، جمع برداری هر جابه جایی مجزا است. چون جابه جایی های نقطه M در جهت های مخالف هم هستند، جمع برداری آنها برابر y₂ - y₁ می شود که چون y₂ بزرگتر از  y₁ است، مقداری مثبت است.

در نقطه P قله موج ها همدیگر را قطع کرده اند و بر هم نهاده شده اند و بنابراین تداخل کاملا سازنده و دامنه موج برایند بیشینه است. اما در نقطه Q قله یک موج با دره موج دیگر تلاقی کرده است و بنابراین همدیگر را تضعیف می کنند و دامنه کمینه است.

الف

چون فاصله نقطه های S و L متناسب با طول موج به کار رفته است، بنابراین برای آنکه نقطه های S و L به هم نزدیک باشند باید طول موج به کار رفته کوچک باشد. نتیجه می گیریم که این معادل با افزایش بسامد صوت است.

ب

برای آنکه نقطه های S و L از هم دور شوند باید طول موج به کار رفته بزرگ باشد، نتیجه می گیریم که این معادل با کاهش بسامد صوت است.

الف

پهنای نوار های تداخلی در آزمایش یانگ متناسب با طول موج به کار رفته است. بنابراینبا افزایش طول موج، پهنای نوارها زیاد می شود. پس پهنای نوارها با استفاده از نور تکفام قرمز به جای نور تکفام سبز، افزایش می یابد.

ب

چون پهنای نوارهای تداخلی با طول موج به کار رفته متناسب است، با توجه به اینکه در حضور آب طول موج به \(\frac{\lambda }{n}\) تغییر پیدا می کند و کم می شود، بنابراین طول موج به کار رفته کاهش می یابد که این به معنای کاهش پهنای نوارها است.

الف

چون دوره تناوب برابر با عکس بسامد است، بنابراین

\(\begin{array}{l}t = \frac{1}{{4f}} = \frac{T}{4}\\\\t = \frac{1}{{2f}} = \frac{T}{2}\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}\frac{\lambda }{2} = 1 \Rightarrow \lambda = 2\\\\f = \frac{v}{\lambda } = \frac{{240}}{2} = 120\,Hz\end{array}\)

الف

\({f_1} = \frac{v}{{2\lambda }} = \frac{{1 \times 250}}{{2 \times 0/15}} = 833/3\,Hz\)

توجه کنید که بسامد موج روی نار همان بسامد موج صوتی است که تولید می شود.

ب

همان طور که گفتیم \({f_1}\) بسامد موج صوتی است و بنابراین برای طول موجِ موج صوتی گسیل شده داریم:

\(\lambda = \frac{v}{f} = \frac{{348}}{{833/3\,}} = 0/4176\,m\)

الف

دو سر تار بسته است و وقتی در پایین ترین بسامد خود نوسان می کند، طول آن دقیقا نصف طول موج است. اگر L طول سیم و 𝜆 طول موج باشد، \(\lambda = 2L\)است. بنابراین :

\(v = \lambda f = 2Lf = 2 \times 0/22 \times 920 = 404/8\,m/s\)

که البته می توانستیم آن را به طور مستقیم به ازای n=1 به دست آوریم.

ب

تندی موج \(\mu = \frac{m}{L}\) است بنابراین کشش تار چنین می شود :

\(\begin{array}{l}F = \mu {v^2} = \left( {\frac{m}{L}} \right){v^2} = \\\\\frac{{800 \times {{10}^{ - 6}}}}{{22 \times {{10}^{ - 2}}}} \times {(404/8)^2} = 0/595{\mkern 1mu} {\rm{N}}\end{array}\)

پ

برای بسامد اصلی، طول موجِ موج عرضی در تار \(\lambda = 2L\) است و بنابراین :

\(\lambda = 2L = 2 \times 0/22 = 0/44{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

بسامد صوت در هوا همان بسامد نوسان سیم است. ولی به خاطر تندی متفاوت صوت، طول موج متفاوت می شود. اگر هوا را با شاخص پایین a نشان دهیم، خواهیم داشت :

\({\lambda _a} = \frac{{{v_a}}}{f} = \frac{{340}}{{920}} = 0/3696{\mkern 1mu} {\rm{m}} = 36/9{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\)

الف

تشدید باعث به نوسان درآمدن تار می شود. اگر بسامد مولّد نوسان با بسامدهای ارتعاش تار منطبق شود، تار به تشدید در می آید و در غیر این صورت، موج ایستاده بارزی ایجاد نمی شود.

ب

چون تار فقط در دو بسامد 880 Hz و 1320 Hz به نوسان در می آید، تفاضل آنها برابر بسامد اصلی نوسان تار است. بنابراین :

\({f_{n + 1}} - {f_n} = 1320 - 880 = 440{\mkern 1mu} {\rm{Hz}}\)

پ

\({f_{n + 1}} - {f_n} = \frac{1}{{2L}}\sqrt {\frac{F}{\mu }} \)

و از آنجا

\(\begin{array}{l}F = 4{L^2}\mu {({f_{n + 1}} - {f_n})^2} = \\\\4 \times 0/{3^2} \times 0/65 \times {10^{ - 2}} \times {(1320 - 880)^2} = \\\\45/3{\mkern 1mu} {\rm{N}}\end{array}\)

در اینجا خوب بود تندی صوت در تار ویولن نیز پرسیده می شد و آنرا با تندی صوت در هوا مقایسه می کردیم. برای تندی صوت در تار داریم :

\(v = \sqrt {\frac{F}{\mu }} = \sqrt {\frac{{45/3}}{{0/65 \times {{10}^{ - 3}}}}} = 83/48{\mkern 1mu} {\rm{m/s}}\)

چون ریسمان B تحت کشش بیشتری نسبت به ریسمان A قرار دارد، تندی موج در این ریسمان بیشتر است، زیرا هر دو ریسمان چگالی خطی جرمی یکسانی دارند. در می یابیم که تنها در شکب ت که ریسمان B در هماهنگ اول و ریسمان A در هماهنگ دوم در نوسان است این امکان وجو.د دارد که ریسمان ها در بسامدهای تشدیدی یکسانی باشند.

تفاضل دو بسامد نوسان متوالی تار برابر با بسامد اصلی نوسان تار است، بنابراین :

f = 390 – 325 = 65 Hz

همان بسامد اصلی پایه است.

حال پس از اینکه بسامد اصلی را یافتیم، به این می پردازیم که «بسامد تشدیدی پس از 195 Hz این تار چیست»:

تعیین شماره هماهنگ برای بسامد :195 Hz

برای این کار، آن را بر بسامد اصلی تقسیم می‌کنیم:

\(n = \frac{{195}}{{65}} = 3\)

این یعنی 195 Hz هماهنگ سوم \(({f_3})\) است.

حال به محاسبه بسامد تشدید بعدی می پردازیم:

\({f_4} = {f_3} + {f_1} = 195 + 65 = 260\,Hz\)

بسامد تشدیدی پس از 195 Hz برابر با 260 Hz است.

الف

اگر بررسی کنید در می یابید تفاوت بسامدهای تشدیدی برابر 75 هرتز است و چون بسامد کمتر از 400 هرتز خواسته شده است، پس بسامد مورد نظر همان 75 هرتز است.

ب

\({f_7} = 7 \times {f_1} = 7 \times 75 = 525\,Hz\)

توجه کنید آنچه در توصیف چگونگی انجام این آزمایش آمده است، صرفا برای آن است که مسئله از جنبه انتزاعی خارج شده و عملا انجام پذیر باشد. اگر تار در نقطه c محکم گرفته شود، نوسان های تار به سمت راست منتقل نمی شوند. بنابراین در انجام این تجربه، چگونگی گرفتن تار در نقطه C مهم است و تا آنجا که ممکن است باید به آرامی گرفته شود. بنابراین کاغذهای تاشده در نقطه های D و F به هوا بر می خیزند، در حالی که کاغذ واقع در E، در جای خود ثابت می ماند.

در هنگام خالی شدن گالن، حجم فضای هوای داخل آن افزایش می یابد. هرچه فضای هوای خالی افزایش یابد، اندازه بسامدهای تشدیدی کمتر می شوند.

صدای حاصل از خالی شدن ظرف، گستره وسیعی از بسامدها را دارد که در هر لحظه، یکی از انها با بسامد تشدیدی هوای درون ظرف منطبق می شود، بنابراین موقع خالی شدن گالن، مدام صداهای بم تر و بم تری را می شنویم.

هنگام دمیدن در یک صدف حلزونی لب ها را روی دهانه باریک آن می فشارند. با دمیدن صدف حلزونی، لب ها به نوسان در می آیند و اگر این کار با دقت صورت بگیرد، لب ها در بسامدهای مختلفی به نوسان در می آیند. نوسان لب ها در درون صدف، امواجی صوتی را با همان بسامدهای نوسان لب به وجود می آورد. اگر برخی از این امواج با یکی از بسامدهای تشدید صدف منطبق شوند، در این صورت یک موج صوتی قوی را ایجاد می کنند.