آهنگ تغییرات

الف

\(\begin{array}{l}t = 1d(1) = - 5{(1)^2} + 20(1) = - 5 + 20 = 15\\\\t = 2d(2) = - 5{(2)^2} + 20(2) = - 20 + 40 = 20\\\\v = \frac{{{d_2} - {d_1}}}{{{t_2} - {t_1}}} = \frac{{20 - 15}}{{2 - 1}} = 5\end{array}\)

 متوسط

ب

\(\begin{array}{l}d(t) = - 5{t^2} + 20t \to d'(t) = - 10t + 20\\\\t = 3v = d'(3) = - 10(3) + 20 = - 10\\\\t = 2v = d'(2) = - 10(2) + 20 = 0\end{array}\)

توجه : نمودار تابع فوق به شکل مقابل است.

و مفهوم اعداد بدست آمده در مثال قبل را می توان به صورت زیر تفسیر کرد.

ج سرعت اتومبیل در لحظه ی t=2 ، صفر است ومماس بر منحنی در این نقطه موازی محور طول ها است و خودرو ساکن است مقدار سرعت در لحظه های t=1 و t=3برابر است. و علامت منفی درمورد \(d'(3)\) نشان می دهد که جهت حرکت درt=3 بر خلاف جهت حرکت در t=1است.

\(\begin{array}{l}v(x) = {x^3}\\\\\frac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = \frac{{v(5) - v(2)}}{{5 - 2}} = \frac{{125 - 8}}{3} = 39\end{array}\)

\(\begin{array}{l}s(r) = \pi {r^2} \to s'(r) = 2\pi {r^2}\\\\s'(5) = 2\pi (5) = 10\pi \end{array}\)

\(\begin{array}{l}f(t) = 30 + 10{t^2}\\\\f(2) = 30 + 10{(2)^2} = 70\\\\f(7) = 30 + 10{(7)^2} = 520\\\\\frac{{\Delta f}}{{\Delta t}} = \frac{{f(7) - f(2)}}{{7 - 2}} = \frac{{520 - 70}}{5} = 90\end{array}\)

\(\begin{array}{l}s(r) = \pi {r^2}s(p) = \pi {(\frac{p}{{2\pi }})^2} = \frac{{{p^2}}}{{4\pi }}\\\\s(p) = \frac{p}{{2\pi }} \to s'(p) = \frac{{2p}}{{4\pi }} = \frac{p}{{4\pi }}\\\\s(5\pi ) = \frac{{5\pi }}{{2\pi }} = 2/5\end{array}\)

 الف\({l^2} = {(1)^2} - {(2)^2} - 2(1)(2)\cos \alpha \to l\left( \alpha \right) = \sqrt {5 - 4\cos \alpha } \) 

ب\(l' = \frac{{4\sin \alpha }}{{2\sqrt {5 - 4\cos \alpha } }} = \frac{{2\sin \alpha }}{{\sqrt {5 - 4\cos \alpha } }}\)

ج\(l'(\frac{\pi }{4}) = \frac{{2\sin (\frac{\pi }{4})}}{{\sqrt {5 - 4\cos \alpha (\frac{\pi }{4})} }} = \frac{{2(\frac{{\sqrt 2 }}{2})}}{{\sqrt {5 - 4\cos (\frac{{\sqrt 2 }}{2})} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {5 - (\frac{{\sqrt 2 }}{2})} }}\)

الف

\(\begin{array}{l}x(t) = {t^2} - 5t + 6\\\\x(t) = {(3)^2} - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\\\\x(5) = {(5)^2} - 5(5) + 6 = 25 - 25 = 0\\\\v = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{t_2} - {t_1}}} = \frac{{6 - 0}}{{5 - 3}} = 3\frac{m}{s}\end{array}\)

ب

\(x'(2) = 2t - 5 \to x'(2) = 2(2) - 5 = - 1\frac{m}{s}\)

1 معادله ی داده شده یک سهمی و چون در آن ۵- = a. پس نمودار سهمی رو به پایین بوده و دارای نقطه ی Max است.

 2چون بعد از ۴ ثانیه توپ مجدداً به زمین بر میگردد. لذا دامنه ی تابع می شود. [۰,۴] = D‏

3

\(\begin{array}{l}y(t) = - 5{t^2} + 20t\\\\y(0) = - 5{(0)^2} + 20(0) = 0\\\\y(2) = - 5{(2)^2} + 20(2) = - 20 + 40 = 20\\\\\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \frac{{y(12) - y(0)}}{{1 - 0}} = \frac{{20 - 0}}{2} = 10\end{array}\)

4

\(\begin{array}{l}y(t) = - 5{t^2} + 20t \to y'(t) = - 10t + 20t\\\\y'(t) = - 10(1) + 20 = 10\frac{m}{s}\end{array}\)

5

\(y'(3) = - 10(3) + 20 = - 10\frac{m}{s}\)

6

\(y'(4) = - 10(4) + 20 = - 20\frac{m}{s}\)

7 بالاترین ارتفاع توپ زمانی است که ۲ t= باشد. لذا

\(y'(2) = - 10(2) + 20 = 0\frac{m}{s}\)

یعنی سرعت لحظه ای توپ در این لحظه برابر صفر است. ( ایست لحظه ای)

الف 

زمانی میگویند که مخزن کاملاً تخلیه شده است که حجم آب باقی مانده در مخزن صفر شود. یعنی:

\(\begin{array}{l}v = 40{(1 - \frac{t}{{100}})^2} = 20\\\\ \to {(1 - \frac{t}{{100}})^2} = 1 - \frac{t}{{100}} = 0 \to t = 100\min \end{array}\)

ب

واضح است که حجم آب تخلیه شده برابر تفاضل آب باقی مانده از حجم کل آب است. یعنی:

\(\begin{array}{l}v = 40 - 40{(1 - \frac{t}{{100}})^2} = 40 - 40(1 - \frac{{2t}}{{100}} + \frac{{{t^2}}}{{1000}}))\\\\ \to 40{(\frac{{2t}}{{100}} - \frac{{{t^2}}}{{1000}})^2} = 40 \times \frac{{t - {t^2}}}{{10000}} = \frac{1}{{250}}(200t - {t^2})\\\\ \to v(t) = \frac{1}{{250}}(200t - {t^2})\\\\v(0) = \frac{1}{{250}}(200t - {t^2})\\\\v(t) = \frac{1}{{250}}(200(0) - {(0)^2}) = 0\\\\v(1) = \frac{1}{{250}}(200(1) - {(1)^2}) = \frac{{199}}{{250}} = 0/79\\\\\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \frac{{v(1) - v(0)}}{{1 - 0}} = \frac{{0/79 - 0}}{{1 - 0}} = 0/79\end{array}\)

ج

\(\begin{array}{l}v(t) = \frac{1}{{250}}(200t - {t^2}) \to v'(t) = \frac{1}{{250}}(200t - 2t) = \frac{2}{{250}}(100 - t)\\\\v'(25) = \frac{2}{{250}}(100 - 25) = \frac{2}{{250}} \times 75 = \frac{3}{5} = 0/6\end{array}\)

آهنگ تغییرات تخلیه ی آب