شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | مشتق پذیری یک تابع در یک نقطه](https://dl.my-dars.com/upload/image/0451739032942.jpg)
تابع (y = f(x در نقطه ی x=aمشتق پذیر گویند، هرگاه
الف) در این نقطه پیوسته باشد \((\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = f(a))\)
ب( مشتق راست و مشتق چپ آن در این نقطه موجود و برابر باشند. \(({f'_ + }(a) = ({f'_ - }(a))\)
در غیر این صورت تابع در نقطه ی x=aمشتق پذیر نیست.
مشتق پذیری تابع زیر را در نقطه ی ۰ = x بررسی کنید.
\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \to x \ge 0\\\\1x\sin x \to x < 0\end{array} \right.\)
\(f(0) = {\left( 0 \right)^2} + 1 = 1\)مقدار
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = {\left( 0 \right)^2} + 1 = 1\)حد راست
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = 1 + \left( 0 \right)\sin \left( 0 \right) = 1\)حد چپ
تابع در نقطه ی = x پیوسته است.
حال مشتقات یک طرفه را در این نقطه را بررسی می کنیم.
\(\begin{array}{l}{{f'}_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{({x^2} + 1) - 1}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{({x^2})}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0\\\\{{f'}_ - }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{(1 + x\sin x) - 1}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x\sin x}}{x}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \sin x = 0\\\\ \to {{f'}_ + }(0) = {{f'}_ - }(0)\end{array}\)
تابع در نقطه ی = x مشتق پذیر است.
۱ : عکس قضیه ی فوق الزاماً برقرار نیست یعنی ممکن است یک تابع در یک نقطه پیوسته باشد ولی در آن نقطه مشتق پذیر نیست مانند تابع \(f(x) = \left| x \right|\) که در نقطه ی x=0پیوسته است ولی در این نقطه مشتق پذیر نیست.
۲ : اگر تابعی در یک نقطه پیوسته نباشد در آن نقطه مشتق پذیر نیست.
تابع زیر در نقطه ی ۱ = x مشتق پذیر است. مقدار b و a را بیابید.
\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} \to x < 1\\\\b{x^3} + 2x \to x \ge 1\end{array} \right.\)
چون تابع در نقطه ی x=1 مشتق پذیر است پس در این نقطه پیوسته میباشد. لذا پیوستگی و سپس مشتقات یکطرفه را بررسی می کنیم.
\(f(1) = b + 2\)مقدار
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (b{x^3} + 2x) = b + 2\)حد راست
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} a{x^2} = a\\\\b + 2 = a\end{array}\)حدچپ
\(\begin{array}{l}{{f'}_ + }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(b{x^3} + 2x) - (b + 2)}}{{x - 1}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{b{x^3} - b + 2x - 2)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{b({x^3} - 1) + 2(x - 1)}}{{x - 1}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x - 1) + \left[ {b({x^2} + x + 1) + 2} \right]}}{{x - 1}} = 3b + 2\end{array}\)مشتق راست
مشتق چپ
\(\begin{array}{l}{{f'}_ - }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{a{x^2} - (\overbrace {b + 2}^a)}}{{x - 1}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{a{x^2} - a}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{a({x^2} - 1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{a(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} = a(1 + 1) = 2a\\\\ \to 2a = 3b + 2\\\\\left\{ \begin{array}{l}b + 2 = a\\\\2a = 3b + 2\end{array} \right. \to a = 4,b = 2\end{array}\)
نتیجه: در هر یک از موارد زیر یک تابع در یک نقطه مانند x = a مشتق پذیر نیست.
۱ :تابع در این نقطه پیوسته نباشد.
در این مورد نقطه ی داده شده را نقطه ی ناپیوستگی می گویند.
مانند: تابع [f(x) = [x که در نقطه ی ۰ = x پیوسته نیست.
۲: تابع در این نقطه پیوسته است ولی مشتق راست و چپ تابع در این نقطه موجود ( متناهی( ولی برابر نباشند.
در این مورد نقطه ی داده شده را نقطه ی گوشه ای نقطه ی زاویه دار میگویند و خطوط مماس را نیم مماس چپ و نیم مماس راست می نامند.
مانند تابع \(f(x) = \left| x \right|\)که در نقطه ی 0= x پیوسته است ولی مشتق چپ آن در این نقطه ۱- و مشتق راست آن ۱ است.
\(f(x) = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x \to x \ge 0\\\\ - x \to x < 0\end{array} \right.\)
\(f(0) = 0\)مقدار
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0\)حد راست.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} ( - x) = 0\)حد چپ
\({f'_ + }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{x}{x} = 1\)مشتق راست
\({f'_ - }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^{^ - }}} \frac{{ - x}}{x} = - 1\)مشتق چپ
3:تابع در این نقطه پیوسته است ولی مشتق راست یا چپ تابع در این نقطه یکی عدد (متناهی) و دیگری بی نهایت (نامتناهی) میشود
دراین مورد نیز نقطه یداده شده را نقطه گوشه ای (نقطه ی زاویه دار) میگویند و خطوط مماس را نیم مماس چپ و نیم مماس راست می نامند.
تابع \(f(x) = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} \to x \le 1\\\\\sqrt {x - 1} \to x > 1\end{array} \right.\)در این نقطه x=1پیوسته است ولی
\(\begin{array}{l}{{f'}_ + }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 1}}{{(x - 1)\sqrt {x - 1} }} = + \infty \\\\{{f'}_ - }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (x - 1) = 0\end{array}\)
۴ تابع در این نقطه پیوسته است ولی مشتق راست یا چپ تابع یکی \( + \infty \)و دیگری \( - \infty \)شود.
مانند: تابع \(f(x){ = ^3}\sqrt {{x^2}} \)در نقطه ی0 = x پیوسته ولی مشتق پذیر نیست. زیرا
\(\begin{array}{l}{{f'}_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{^3\sqrt {{x^2}} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{^3\sqrt {{x^2}} }} = + \infty \\\\{{f'}_ - }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{^3\sqrt {{x^2}} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{^{ - 3}\sqrt x }} = - \infty \\\end{array}\)
5 تابع در این نقطه پیوسته است ولی مشتق راست یا چپ تابع یکی \( + \infty \)و دیگری \( - \infty \)شود.
مانند: تابع \(f(x){ = ^5}\sqrt {{x^2}} \) در نقطه ی0 = x پیوسته ولی مشتق پذیر نیست. زیرا
\(\begin{array}{l}{{f'}_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{^5\sqrt {{x^2}} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{^5\sqrt {{x^2}} }} = + \infty \\\\{{f'}_ - }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{^5\sqrt {{x^2}} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{^{ - 5}\sqrt x }} = + \infty \\\end{array}\)
۱ اگر تابعی در همسایگی) راست یا چپ ) این نقطه تعریف نشده باشد تابع در آن نقطه پیوسته نیست و لذا مشتق پذیر نمی باشد.
مانند: تابع \(f(x) = \sqrt x \)در نقطه ی 0= x پیوستگی راست دارد ولی حد چپ آن در این نقطه تعریف نمی شود. این نقطه یک نقطه ی مرزی است.
2 اگر تابع f در a پیوسته بوده و
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} = + \infty \vee - \infty \)
باشد، آنگاه خط x = a که از نقطه ی \(A(a,f(a))\)a میگذرد و خط مماس قائم بر نمودار fگفته می شود.
تهیه کننده : جابر عامری
1736019749.png)
