شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | فرمول های مشتق گیری از توابع](https://dl.my-dars.com/upload/image/0481739033525.jpg)
استفاده از تعریف تابع مشتق برای تعیین مشتق یک تابع، قدری طولانی و گاهی مشکل است. لذا در ادامه برخی از فرمولهای مشتق گیری از توابع را برای سهولت کار مشتق گیری مجدداً بیان می کنیم.
(الف) فرمول های مقدماتی مشتق
مشتق تابع ثابت
\(f(x) = c \to f'(x) = 0\)
یعنی مشتق هر تابع ثابت عدد ثابت برابر صفر است.
مثال
\(f(x) = \frac{2}{3} \to f'(x) = 0\)
مشتق تابع یک جمله ای درجه ی اول
\(2)f(x) = ax \to f'(x) = a\)
یعنی مشتق هر تابع یک جمله ای درجه ی اول برابر ضریب x است.
مثال
\(\begin{array}{l}f(x) = 3x \to f'(x) = 3\\\\f(x) = x \to f'(x) = 1\end{array}\)
مشتق تابع یک جمله ای
\(3)f(x) = a{x^n} \to f'(x) = a{x^{n - 1}}\)
مثال
\(f(x) = 3{x^5} \to f'(x) = 3 \times 5{x^4} = 15{x^4}\)
مشتق تابع کسری
\(f(x) = \frac{1}{x} \to f'(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}\)
مشتق تابع رادیکالی
\(\begin{array}{l}5)f(x) = \sqrt x \to f'(x) = - \frac{1}{{2\sqrt x }}\\\\6)f(x){ = ^m}\sqrt {{x^n}} \to f'(x) = - \frac{n}{{{m^m}\sqrt {{x^{m - n}}} }}\end{array}\)
مثال
\(f(x){ = ^5}\sqrt {{x^2}} \to f'(x) = \frac{2}{{^5\sqrt {{x^2}} }}\)
مشتق توابع مثلثاتی
\(\begin{array}{l}7)f(x) = \sin u \to f'(x) = cosu\\\\8)f(x) = {\mathop{\rm cosx}\nolimits} \to f'(x) = - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \\\\9)f(x) = {\mathop{\rm tanx}\nolimits} \to f'(x) = 1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\\\10)f(x) = {\mathop{\rm cotx}\nolimits} \to f'(x) = - (1 + {\cot ^2}x) = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\end{array}\)
ب (فرمولهای تکمیلی مشتق روش های مشتقگیری
اگر u و vو w توابعی مشتق پذیر بر حسب xباشند در این صورت میتوان فرمول های زیر را برای مشتق بیان کرد.
مشتق حاصل ضرب یک عدد در یک تابع
\(1)y = au \to y' = a'u'\)
یعنی مشتق حاصل ضرب یک عدد در یک تابع با حاصل ضرب آن عدد در مشتق تابع برابر است.
مثال
\(\begin{array}{l}y = 5\sqrt x \to y' = 5 \times \frac{1}{{2\sqrt x }} = \frac{5}{{2\sqrt x }}\\\\y = - 3\sin x \to y' = - 3\cos x\end{array}\)
مشتق مجموع دو یا چند تابع
\(\begin{array}{l}2)y = u + v \to y' = u' + v'\\\\3)y = u + v + w + ... \to y' = u' + v' + w' + ...\end{array}\)
مشتق مجموع دو یا چند تابع با مجموع مشتقهای هر یک از آنها برابر است.
مثال
\(\begin{array}{l}y = 5x + \sin x \to y' = 5 + \cos x\\\\y = {x^2} + 3\cos x + \sqrt x + 5 \to y' = - 2x - 3\sin x + \frac{1}{{2\sqrt x }}\end{array}\)
مشتق حاصل ضرب دو یا چند تابع
\(\begin{array}{l}4)y = u.v \to y' = u'.v' + v'.u'\\\\5)y = u.v.w \to y' = u'.v'.w'\end{array}\)
مثال
\(\begin{array}{l}y = (3{x^2} + 5x)\left( {\cos x} \right) \to y' = \left( {6x + 5} \right)(\cos x) + (3{x^2} + 5x)\left( { - \sin x} \right)\\\\y = (3{x^2} + 5x)\left( {5\sqrt x } \right)\left( {\sin x} \right)\\\\y' = \left( {6x} \right)\left( {5\sqrt x } \right)\left( {\sin x} \right) + \frac{5}{{2\sqrt x }}\left( {3{x^2} + 1} \right)\left( {\sin x} \right) + (\cos x) + (3{x^2} + 5x)\left( {5\sqrt x } \right)\end{array}\)
مشتق تابع توان دار
\(6)y = a.{u^n} \to y' = a.n.u'.{u^{n - 1}}\)
مثال
\(\begin{array}{l}y = 5{(3{x^2} + \cos x)^3} \to y' = 5(3)\left( {6x - \sin x} \right){(3{x^2} + \cos x)^2}\\\\y = 3{\sin ^4}x \to y' = 12(\cos x)({\sin ^3}x)\end{array}\)
مشتق خارج قسمت دو تابع
\(7)y = \frac{u}{v} \to y' = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}\)
مثال
\(\begin{array}{l}y = \frac{{3{x^2} - 5x}}{{4x + 1}} \to y' = \frac{{(6x - 5)(4x + 1) - (4)(3{x^2} - 5x)}}{{{{(4x + 1)}^2}}}\\\\8)y = \frac{1}{v} \to y' = - \frac{{ - v'}}{{{v^2}}}\end{array}\)
مثال
\(y = \frac{1}{{3x + \tan x}} \to y' = \frac{{3 + 1 + {{\tan }^2}x}}{{{{(3x + \tan x)}^2}}} = - \frac{{4 + {{\tan }^2}x}}{{{{(3x + \tan x)}^2}}}\)
مشتق توابع رادیکالی
\(9)y = \sqrt u \to y' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)
مثال
\(\begin{array}{l}y = \sqrt {{t^2} + \sin t} \to y' = \frac{{2t + \cos t}}{{2\sqrt {{t^2} + \sin t} }}\\\\10)y{ = ^m}\sqrt {{u^n}} \to y' = \frac{{n.u'}}{{{m^m}\sqrt {{u^{m - n}}} }}\end{array}\)
مثال
\(\begin{array}{l}y{ = ^5}\sqrt {{{(6x + {x^2} - 1)}^2}} \to y' = \frac{{2(6 + 2x)}}{{{5^5}\sqrt {{{(6x + {x^2} - 1)}^3}} }}\\\\y{ = ^4}\sqrt {sinx + \cos x} \to y{ = ^4}\sqrt {{{(sinx + \cos x)}^1}} \to y' = \frac{{cosx - \sin x}}{{{4^4}\sqrt {{{(sinx + \cos x)}^3}} }}\end{array}\)
مشتق توابع مثلثاتی
\(\begin{array}{l}15)y = \sin u \to y' = u'.\cos u\\\\16)y = \cos u \to y' = - u'.\cos u\\\\17)u = \tan u \to y' = u'(1 + {\tan ^2}u) = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\\\\18)u = \cot u \to y' = - u'(1 + {\cot ^2}u) = \frac{{ - u'}}{{{{\sin }^2}u}}\end{array}\)
مثال
\(y = \cos \sqrt x \to y' = - \frac{1}{{2\sqrt x }}(\sin x)\)
با توجه به آنچه که در مورد مشتق توابع تواندار گفته شد میتوان مشتق توابع مثلثاتی تواندار را به شکل زیربدست آورد.
کم کردن یک واحد از توان مشتق نسبت مثلثاتی مشتق زاویه) (توان) (ضریب تابع) = 
مثال
\(y = 5{\sin ^7}\sqrt x \to y' = 5(7)(\frac{1}{{2\sqrt x }})(cos\sqrt x )(si{n^6}\sqrt x )\)
تهیه کننده : جابر عامری
1736019749.png)
