جواب فصل 3 توابع نمایی و لگاریتمی حسابان یازدهم

الف

\(\begin{array}{l}m\left( 5 \right) = 32\\m\left( 6 \right) = 64\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}m\left( t \right) = 256 \Rightarrow t = 8\\m\left( t \right) = 1024 \Rightarrow t = 10\end{array}\)

پ

\(m\left( t \right) = {2^t}\)

الف

ب

پ

اگر خطی موازی محور y رسم کنیم، نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع می کند.

ت

ث

\({2^{\frac{5}{2}}}\)

ج

چرا که هر چه به سمت چپ محور x برویم، نمودار فقط به این محور نزدیک می شود. همچنین هنگامی تابع \(y = {2^x}\) به صفر می رسد که توان عدد 2 ، منفی بینهایت (\( - \;\infty \)) باشد.

الف و پ

نسبت به محور y متقارن است.

ب

\(\left\{ \begin{array}{l}D = \mathbb{R}\\R = \left( {0\;,\;\infty } \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}h\left( x \right) = {5^x}\\\left\{ \begin{array}{l}D = \mathbb{R}\\R = \left( {0\;,\;\infty } \right)\end{array} \right.\\\\g\left( x \right) = {3^x}\\\left\{ \begin{array}{l}D = \mathbb{R}\\R = \left( {0\;,\;\infty } \right)\end{array} \right.\\\\f\left( x \right) = {2^x}\\\left\{ \begin{array}{l}D = \mathbb{R}\\R = \left( {0\;,\;\infty } \right)\end{array} \right.\end{array}\)

بله؛ زیرا هر خطی موازی محور x رسم شود، توابع را حداکثر در یک نقطه قطع می کند.

\(\begin{array}{l}u\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x}\\\left\{ \begin{array}{l}D = \mathbb{R}\\R = \left( {0\;,\;\infty } \right)\end{array} \right.\\\\v\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\\\left\{ \begin{array}{l}D = \mathbb{R}\\R = \left( {0\;,\;\infty } \right)\end{array} \right.\\\\t\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\\\left\{ \begin{array}{l}D = \mathbb{R}\\R = \left( {0\;,\;\infty } \right)\end{array} \right.\end{array}\)

بله؛ این توابع نیز یک به یک هستند.

الف

\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}\;,\;{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\;,\;{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\;,\;{2^2}\;,\;{2^3}\;,\;{2^4}\)

ب

- افزایش

- کاهش

الف

\(m\left( t \right) = 100{\left( 2 \right)^t}\)

ب

\(t = 20 \Rightarrow m\left( {20} \right) = 100{\left( 2 \right)^{20}}\)

ابتدا نمودار \(y = {a^x}\) را رسم می کنیم و سپس 2 واحد آن را در جهت بالا انتقال می دهیم و در این صورت نمودار \(y = {a^x} + 2\)  بدست می آید و اگر نمودار \(y = {a^x}\)  را 2 واحد به سمت پایین انتقال دهیم، نمودار\(y = {a^x} - 2\)   رسم می شود.

الف

\(A\left( 8 \right) = 10{\left( {0/8} \right)^8} \simeq 1/7\)

ب

\(\begin{array}{l}\left| {\frac{{A\left( {t + 1} \right) - A\left( t \right)}}{{A\left( t \right)}}} \right| \times 100 = \left| {\frac{{10{{\left( {0/8} \right)}^{t + 1}} - 10{{\left( {0/8} \right)}^t}}}{{10{{\left( {0/8} \right)}^t}}}} \right| \times 100\\\\ = \left| {\frac{{0/8 - 1}}{1}} \right| \times 100 = 20\% \end{array}\)

الف

\(\sqrt {10} \simeq 3/1\quad \Rightarrow \quad {3^{2/5}}\;,\;{3^{2/6}}\;,\;{3^{2/8}}\;,\;{3^3}\;,\;{3^{\sqrt {10} }}\)

ب

\({4^{2x - 1}} > \frac{1}{{1024}} = \frac{1}{{4{}^5}} = {4^{ - 5}} \Rightarrow 2x - 1 > - 5 \Rightarrow x > - 2\)

پ

\(x > y > z\)

الف

\({3^{1 - \sqrt 2 }} \simeq 0/63\)

ب

\({2^{1/25}} \simeq 2/37\)

پ

\({3^{\frac{3}{2}}} \simeq 5/2\)

الف

بین دو عدد 2 و 3 ؛ زیرا : \({2^2} < \frac{{13}}{2} < {2^3}\)

ب

بین دو عدد 1 و 2.

الف

\(0/7 \to 0/7 \times 100 = 70\% \) :یک لایه

\({\left( {0/7} \right)^2} \to 0/49 \times 100 = 49\% \) :دو لایه

\({\left( {0/7} \right)^n} \to {\left( {\frac{7}{{100}}} \right)^n} \times 100 = \frac{{{7^n}}}{{{{100}^{n - 1}}}}\% \) :n لایه

ب

\(\begin{array}{l}100\% - 96\% = 4\% \\\frac{{{7^n}}}{{{{10}^{n - 2}}}}\% < 4\% \Rightarrow \frac{{\frac{{{7^n}}}{{{{10}^{n - 2}}}}}}{{100}} = 0/04\\ \Rightarrow {\left( {0/7} \right)^n} < 0/04 \simeq {\left( {0/7} \right)^9} \Rightarrow n > 9 \Rightarrow n = 10\end{array}\)

- نقطۀ \(\left( { - 2\;,\;\frac{1}{9}} \right)\)  روی نمودار f قرار دارد. ✔

- نقطۀ \(\left( { - 1\;,\;\frac{1}{3}} \right)\)  روی نمودار f^-1 قرار دارد. ×

- نقطۀ \(\left( {1\;,\;0} \right)\)  روی نمودار f قرار دارد. ×

- نقطۀ \(\left( {\frac{1}{9}\;,\; - 2} \right)\)  روی نمودار f^-1 قرار دارد. ✔

- تابع f^-1 یک به یک است. ✔

الف و ب

پ

نسبت به خط x=y قرینه اند:

الف

ب

ضابطه (ب) را نمی دهد:

پ

الف

\({\log _3}81 = 4\)

ب

\({\log _{\frac{1}{6}}}\frac{1}{6} = 1\)

پ

\({\log _2}8 = 3\)

\(\begin{array}{l}{\log _{10}}0/01 = - 2\\\\{\log _6}\frac{1}{6} = - 1\\\\{\log _2}\sqrt 2 = \frac{1}{2}\\\\{\log _7}\sqrt[3]{{{7^2}}} = \frac{2}{3}\end{array}\)

- دامنه هر دو تابع مجموعه اعداد حقیقی مثبت و برد آنها مجموعه اعداد حقیقی است.

- در حالت 1< a ، شکل نمودار تابع به صورت افزایشی و در حالت 1> a >0، شکل نمودار به صورت کاهشی است.

- هر دو تابع از نقطه (1، 0) عبور می کنند.

الف

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 27\\y = {3^x}\end{array} \right. \Rightarrow {3^x} = 27 = {3^3} \Rightarrow x = 3 \Rightarrow A\left| \begin{array}{l}3\\27\end{array} \right.\)

ب

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 10\\y = {\left( {0/01} \right)^x}\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {0/01} \right)^x} = 10 \Rightarrow {\left( {{{10}^{ - 2}}} \right)^x} = 10\\ \Rightarrow - 2x = 1 \Rightarrow x = - \frac{1}{2} \Rightarrow B\left| \begin{array}{l} - \frac{1}{2}\\10\end{array} \right.\end{array}\)

تابع \(y = {2^x}\)  همواره افزایشی و یک به یک است در حالی که تابع \(y = {x^2}\)  یک به یک نیست. این دو نمودار یکدیگر را در سه نقطه قطع می کنند. دو نقطه آن به طول های 4=x و 2=x و طول نقطه سوم بین دو طول 0 و 1- قرار دارد.

 - لگاریتم اعداد مثبت کمتر از 1 همواره عددی منفی است. ×

- لگاریتم اعداد منفی تعریف نمی شود. ✔

- تابع لگاریتم، تابعی یک به یک است. ✔

- تابع لگاریتم محور yها را قطع می کند. ×

- اگر نقطۀ (b,d) روی نمودار \(y = {a^x}\)  قرار داشته باشد، آنگاه (b,d) روی نمودار \(y = {\log _a}x\)  قرار دارد. ✔

- اگر \(a>b>0\) آنگاه \({\log _{10}}a > {\log _{10}}b\)  ×

الف

ب

پ

\(\begin{array}{l}{\log _c}\frac{a}{b} = {\log _c}\left( {a \times \frac{1}{b}} \right) = {\log _c}a + {\log _c}\frac{1}{b}\\ = {\log _c}a + {\log _c}{b^{ - 1}} = {\log _c}a - {\log _c}b\end{array}\)

الف

\(\log 0/75 = \log \frac{3}{4} = \log 3 - \log 4 = \log 3 - 2\log 2 = b - 2a\)

ب

\(\begin{array}{l}3\log \sqrt[3]{4} - \log 250 = 3\log {2^{\frac{2}{3}}} - \log \frac{{1000}}{{{2^2}}}\\\\ = 3 \times \frac{2}{3}\log 2 - \left( {\log 1000 - 2\log 2} \right)\\\\ = 2a - \left( {3 - 2a} \right) = 4a - 3\end{array}\)

پ

\(\begin{array}{l}\log 0/005 = \log \frac{1}{{200}} = \log 1 - \log \left( {2 \times {{10}^2}} \right)\\\\ = 0 - \left( {\log 2 + 2\log 10} \right) = - a - 2\end{array}\)

الف

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}\quad \left( i \right)\\x > 0\quad \left( {ii} \right)\end{array} \right.\quad \mathop \Rightarrow \limits^{\left( i \right),\left( {ii} \right)} \;x > \frac{1}{2}\quad \left( {iii} \right)\\{\log _5}\left( {2x - 1} \right) = {\log _5}x \Rightarrow 2x - 1 = x\;\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {iii} \right)} \;x = 1\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\quad \left( i \right)\\\frac{x}{2} + 1 > 0 \Rightarrow x > - 2\quad \left( {ii} \right)\end{array} \right.\quad \mathop \Rightarrow \limits^{\left( i \right),\left( {ii} \right)} \;x > 1\quad \left( {iii} \right)\\\\{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _3}\left( {\frac{x}{2} + 1} \right) = 2\\\\ \Rightarrow {\log _3}\left\{ {\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{x}{2} + 1} \right)} \right\} = 2\\\\ \Rightarrow \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}x - 1 = 9 \Rightarrow {x^2} + x - 20 = 0\\\\ \Rightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\x = 4\end{array} \right.\;\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {iii} \right)} \;x = 4\end{array}\)

پ

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\quad \left( i \right)\\x + 3 > 0 \Rightarrow x > - 3\quad \left( {ii} \right)\end{array} \right.\quad \mathop \Rightarrow \limits^{\left( i \right),\left( {ii} \right)} \;x > 0\quad \left( {iii} \right)\\\\\log x + \log \left( {x + 3} \right) = 1 \Rightarrow \log \left\{ {x\left( {x + 3} \right)} \right\} = 1\\\\ \Rightarrow {x^2} + 3x = 10\\\\ \Rightarrow {x^2} + 3x - 10 = 0 \Rightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\x = 2\end{array} \right.\;\mathop \Rightarrow \limits^{\left( i \right),\left( {ii} \right)} \;x = 2\end{array}\)

الف

\(\begin{array}{l}{\log _4}{m^2} - {\log _4}m - 3 = 0 \Rightarrow {\log _4}\left( {\frac{{{m^2}}}{{3m}}} \right) = 0\\\\ \Rightarrow \frac{m}{3} = 1 \Rightarrow m = 1\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {12b - 21} \right) - {\log _2}\left( {{b^2} - 3} \right) = 2 \Rightarrow {\log _2}\left\{ {\frac{{12b - 21}}{{{b^2} - 3}}} \right\} = 2\\\\ \Rightarrow \frac{{12b - 21}}{{{b^2} - 3}} = 4\\\\ \Rightarrow 4{b^2} - 12 = 12b - 21 \Rightarrow 4{b^2} - 12b + 9 = 0\\\\ \Rightarrow {\left( {2b - 3} \right)^2} = 0 \Rightarrow b = \frac{3}{2}\\\\ \Rightarrow 12b - 21 = 18 - 21 = - 3\end{array}\)

پ

\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{{10}}}}\left( {{x^2} - 1} \right) = - 1 \Rightarrow {x^2} - 1 = {\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{ - 1}}\\\\ \Rightarrow {x^2} - 1 = 10\\\\ \Rightarrow {x^2} = 9 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\)

الف

\(m\left( t \right) = {2^t} \Leftrightarrow {m^{ - 1}}\left( t \right) = {\log _2}m\left( t \right) = t\)

تفسیرش این است که اگر بخواهیم بدانیم که چه میزان زمان لازم است تا (t)m گرم باکتری تولید شود، بایستی از رابطه بالا استفاده کنیم.

ب

\(\begin{array}{l}m\left( t \right) = 5000 \Rightarrow t = {\log _2}5000 = {\log _2}{5^4} \times {2^3}\\\\ = 4{\log _2}5 + 3{\log _2}2 = 4{\log _2}\frac{{10}}{2} + 3\end{array}\)

\( = 4\left( {{{\log }_2}10 - {{\log }_2}2} \right) + 3\)  

ساعت  \( = 4{\log _2}10 - 1 = 4 \times \frac{1}{{{{\log }_{10}}2}} - 1 \simeq \frac{4}{{0/301}} - 1 \simeq 12/5 \equiv 12:30'\)

الف

\(\left( {b \ne 1\;,\;a\;,\;b > 0} \right)\;\;\;{a^{{{\log }_b}a}} = 0\) ×

\(\begin{array}{l}{a^{{{\log }_b}a}} = a\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {{{\log }_b}} \right)} {\log _b}\left( {{a^{{{\log }_b}a}}} \right) = {\log _b}a \Rightarrow {\log _b}a \times {\log _b}a = {\log _b}a\\\\ \Rightarrow {\log _b}a = 1 \Rightarrow a = b \times \end{array}\)

ب 

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\left( {d \ne 1\;,\;a\;,\;b\;,\;c\;,\;d > 0} \right)\;\;\;{\log _d}abc = {\log _d}a + {\log _d}b + {\log _d}c\)  ✔

\(\begin{array}{l}{\log _d}abc = {\log _d}a\left( {bc} \right) = {\log _d}a + {\log _d}bc\\\\ = {\log _d}a + {\log _d}b + {\log _d}c\end{array}\)

پ

\(\log x\;\log y = \log x + \log y\) ×

\(\begin{array}{l}\log x\;\log y = \log x + \log y\\\\ \Rightarrow \log {x^{\log y}} = \log xy \Rightarrow xy = {x^{\log y}} \times \end{array}\)

ت

لگاریتم هر عدد مثبت، همواره عددی مثبت است. ×

\(\log \left( {0/1} \right) = \log {10^{ - 1}} = - \log 10 = - 1\)

الف

\(m\left( t \right) = 1 \times {2^{ - \;\frac{t}{4}}} = {2^{ - \;\frac{t}{4}}}\)

ب

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m\left( t \right) = {2^{ - \;\frac{t}{4}}}\\m\left( t \right) = 0/01\end{array} \right. \Rightarrow 0/01 = {2^{ - \;\frac{t}{4}}}\\\\ \Rightarrow \log {10^{ - 2}} = \log {2^{ - \;\frac{t}{4}}} = - \;\frac{t}{4}\log 2\\\\ \Rightarrow - 2 = - \;\frac{t}{4}\log 2\end{array}\)

روز  \( \Rightarrow t = \frac{8}{{\log 2}} \simeq \frac{8}{{0/301}} \simeq 26/5\)

الف

\(\begin{array}{l}\log \left( {18 \times 375} \right) = \log \left( {2 \times {3^2} \times 3 \times {5^3}} \right)\\\\ = \log \left( {2 \times {3^3} \times {{\left( {\frac{{10}}{2}} \right)}^3}} \right) = \log \left( {{2^{ - 2}} \times {3^3} \times {{10}^3}} \right)\\\\ = - 2\log 2 + 3\log 3 + 3\log 10\\\\ \simeq - 2 \times 0/301 + 3 \times 0/4771 + 3 = 3/8293\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}\log \sqrt {0/75} = \frac{1}{2}\log \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\left( {\log 3 - \log {2^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\log 3 - 2\log 2} \right)\\\\ = \frac{1}{2}\left( {0/4771 - 2 \times 0/301} \right)\\\\ = - 0/06245\end{array}\)

پ

\(\begin{array}{l}{\log _2}\frac{{\sqrt 8 }}{{\sqrt[4]{2}}} = {\log _2}\sqrt {{2^3}} - {\log _2}\sqrt[4]{2} = {\log _2}{2^{\frac{3}{2}}} - {\log _2}{2^{\frac{1}{4}}}\\\\ = \frac{3}{2}{\log _2}2 - \frac{1}{4}{\log _2}2\\\\ = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}f(x) = {\log _a}x\\(\frac{1}{2}\;,\;4)\end{array} \right\} \Rightarrow f(\frac{1}{2}) = 4 \Rightarrow 4 = {\log _a}\frac{1}{2}\\\\ \Rightarrow {a^4} = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{a > 0\atop a \ne 1} \,\,\,\,\,a = \sqrt[4]{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} = \frac{{\sqrt[4]{8}}}{2}\end{array}\)

\({\log _b}a \times {\log _a}b = 1\) ✔

\(\begin{array}{l}{b^{{{\log }_b}a \times {{\log }_a}b}} = {b^1} = b \Rightarrow \\{({b^{{{\log }_b}a}})^{{{\log }_a}b}} = {a^{{{\log }_a}b}} = b\end{array}\)

\(\log \;5 = \log \;3 + \log \;2\) ×

\(\begin{array}{l}\log 5 = \log (3 \times 2) = \log 6\\ \Rightarrow 5 = 6\mathop {}\nolimits^{} \times \end{array}\)

\(\begin{array}{l}m\left( t \right) = 128 \times {2^{ - \;\frac{t}{{30}}}} \Rightarrow m\left( {300} \right) = 128 \times {2^{ - \;\frac{{300}}{{30}}}}\\\\ = {2^7} \times {2^{ - 10}} = {2^{ - \,3}} = 0/125\end{array}\)