جواب فصل 1 آشنایی با نظریۀ اعداد ریاضیات گسسته

الف گزاره صحیح است؛ اثبات :

کافی است دو عدد فرد را با \(2n - 1\) و \(2m - 1\) به فرض \(n\;,\;m\;,\;k \in \mathbb{Z}\) نمایش می دهیم. در این صورت :

 \(2n - 1 + 2m - 1 = 2n + 2m - 2 = 2(n + m - 1) = 2k\)

عدد زوج

ب اگر \(x = 9\) و \(y = 16\) ، آنگاه :

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\sqrt {x + y} = \sqrt {9 + 16} = \sqrt {25} = 5\\\\\sqrt x + \sqrt y = \sqrt 9 + \sqrt {16} = 3 + 4 = 7\end{array} \right\}\\\\ \Rightarrow \sqrt {x + y} \ne \sqrt x + \sqrt y \end{array}\)

بنابراین گزاره صحیح نیست

پ اگر \(n = 4\) آنگاه \({2^4} - 1 = 15\) که عدد اول نیست؛ بنابراین گزاره غلط است.

ت گزاره صحیح است؛ اثبات :

کافیست دو عدد گویا را با \(\frac{a}{b}\) و \(\frac{c}{d}\) نمایش دهیم که \(a\;,\;b\;,\;c\;,\;d\;,\;p\;,\;q \in \mathbb{Z}\quad (b\;,\;d \ne 0)\) می باشند؛ بنابراین :

\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{{ad + bc}}{{bd}} = \frac{p}{q}\)

عدد گویا

ث اگر \(A = \left\{ {1\;,\;2\;,\;3} \right\}\) و \(B = \left\{ {2\;,\;4} \right\}\) و \(C = \left\{ 4 \right\}\) ، آنگاه \(A \cup B = A \cup C = \left\{ {1\;,\;2\;,\;3\;,\;4} \right\}\) ولی \(B \ne C\)

ج گزاره صحیح است؛ اثبات:

کافیست \(k = n(n + 1)\) به فرض \(n\;,\;q \in \mathbb{N}\) در نظر گرفته شود؛ بنابراین:

\(4k + 1 = 4n(n + 1) + 1 = 4{n^2} + 4n + 1 = {(2n + 1)^2}\)

مربع کامل

الف

فقط در حالتی ab که a و b هر دو فرد باشند، زیرا اگر حداقل یکی از آن ها زوج باشد، ab زوج خواهد شد. بنابراین با فرض \(a = 2n - 1\) و \(b = 2m - 1\) و \(m\;,\;n \in \mathbb{Z}\) داریم:

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {(2n - 1)^2} + {(2m - 1)^2}\\\\ = 4{n^2} - 4n + 1 + 4{m^2} - 4m + 1\\\\ = 2(2{n^2} - 2n + 2{m^2} - 2m + 1)\end{array}\)

که حاصل عددی زوج است.

ب

کافیست هر شش عضو S را بررسی کنیم (در نظر گرفتن تمام حالت ها):

زوج نیست \(n = 1 \Rightarrow \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} = \frac{{1 \times 4}}{4} = 1\)

زوج نیست \(n = 2 \Rightarrow \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} = \frac{{4 \times 9}}{4} = 9\)

زوج است \(n = 3 \Rightarrow \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} = \frac{{9 \times 16}}{4} = 36\)

زوج است \(n = 4 \Rightarrow \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} = \frac{{16 \times 25}}{4} = 100\)

زوج نیست \(n = 5 \Rightarrow \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} = \frac{{25 \times 36}}{4} = 225\)

زوج نیست \(n = 6 \Rightarrow \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4} = \frac{{36 \times 49}}{4} = 441\)

بنابراین فقط برای \(n = 3\) و \(n = 4\) ، عدد \(\frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}\) یک عدد زوج می باشد، به عبارت دیگر \(n \in A\) است.

الف

برهان خلف :

گیریم \(\frac{1}{x}\) عدد گویا باشد، از طرفی می دانیم وارون هر عدد گویای ناصفر، عددی گویاست؛ پس وارون \(\frac{1}{x}\) یعنی \(x\) نیز گویاست که با فرض سوال تناقض دارد، پس \(\frac{1}{x}\) عددی گنگ است.

ب

برهان خلف :

گیریم \(f + g\) در \(x = a\) پیوسته باشد، از طرفی تفریق دو تابع پیوسته، پیوسته است؛ پس \((f + g) - f = g\) در \(x = a\) پیوسته است که با فرض سوال تناقض دارد، پس \(f + g\) در \(x = a\) ناپیوسته است.

الف

نادرست؛ به طور مثال از \( - 3 < 2\) نتیجه می شود که \(9 < 4\) و این نامساوی منطقی نیست.

ب

درست

الف

بله، هم ارزند؛ اثبات:

گیریم n زوج است و نشان می دهیم \({n^2}\) زوج است:

\(n = 2k \Rightarrow {n^2} = 4{k^2} = 2\left( {2{k^2}} \right)\)

زوج است.

اثبات عکس:

گیریم \({n^2}\) زوج است و نشان می دهیم n زوج است:

برهان خلف:

اگر n زوج نباشد، پس n عددی فرد خواهد بود؛ یعنی:

\(n = 2k - 1 \Rightarrow {n^2} = 4{k^2} - 4k + 1 = 2(2{k^2} - 2k) + 1\)

فرد است \({n^2} \Rightarrow \) تناقض

بنابراین:

 \({n^2}\) زوج است  \( \Leftrightarrow \)   n  زوج است.

ب

1

اثبات \(1\;\; \Rightarrow \;2\)

فاصله نقطه C از دو سر پاره خط AB یکسان است.

2

اثبات \(2\;\; \Rightarrow \;1\)

با فرض AB = AC، ارتفاع OC وارد بر ضلع AB را رسم کرد. نشان می دهیم OC عمود منصف است:

OC عمود منصف پاره خط AB است.

بنابراین دو گزاره هم ارزند؛ یعنی:

\(1\;\; \Leftrightarrow \;\;2\)

الف

اگر x و y  دو عدد حقیقی هم علامت (مخالف صفر) باشند، داریم :

\(\begin{array}{l}\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2 \Leftrightarrow xy\;(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) \ge 2xy\\\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\\\\ \Leftrightarrow {(x - y)^2} \ge 0\end{array}\)

که این عبارت همواره درست است.

ب

برای هر سه عدد حقیقی x و y و z داریم:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx\quad \mathop \Leftrightarrow \limits^{ \times 2} \quad \\\\2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} \ge 2xy + 2yz + 2zx\\\\ \Leftrightarrow \underline {{x^2}} + \underline{\underline {{x^2}}} + \underline {{y^2}} + \underline {\underline{\underline {{y^2}}} } + \underline{\underline {{z^2}}} + \underline {\underline{\underline {{z^2}}} } - \underline {2xy} - \underline {\underline{\underline {2yz}} } - \underline{\underline {2zx}} \ge 0\\\\ \Leftrightarrow {(x - y)^2} + {(x - z)^2} + {(y - z)^2} \ge 0\end{array}\)

که این عبارت همواره درست است.

پ

برای هر سه عدد حقیقی x و y و z داریم:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 1 \ge xy + x + y\quad \mathop \Leftrightarrow \limits^{ \times 2} \quad \\\\2{x^2} + 2{y^2} + 2 \ge 2xy + 2x + 2y\\\\ \Leftrightarrow \underline {{x^2}} + \underline{\underline {{x^2}}} + \underline {{y^2}} + \underline {\underline{\underline {{y^2}}} } + \underline{\underline 1} + \underline {\underline{\underline 1} } - \underline {2xy} - \underline{\underline {2x}} - \underline {\underline{\underline {2y}} } \ge 0\\\\ \Leftrightarrow {(x - y)^2} + {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} \ge 0\end{array}\)

که این عبارت همواره درست است.

\(x = 0/1\quad ,\quad x = - 1\quad ,\quad x = - 2\quad ,\quad \cdots \)

(I) گیریم \(\alpha - \beta \) گویا باشد، از طرفی \(\alpha + \beta \) گویاست، پس مجموع آن ها یعنی \(\alpha + \beta + \alpha - \beta = 2\alpha \) گویا بوده و در نتیجه \(\alpha\) نیز گویاست که با فرض، تناقض دارد؛ پس \(\alpha - \beta \) گنگ است.

(II) گیریم \(\alpha + 2\beta \) گویا باشد، از طرفی \(\alpha + \beta \) گویاست، پس تفاضل آن ها یعنی \(\alpha + 2\beta - (\alpha + \beta ) = \beta \) گویاست که با فرض، تناقض دارد؛ پس \(\alpha + 2\beta \) گنگ است.

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy \Rightarrow 2xy = 0\\\\ \Rightarrow x = 0\quad \vee \quad y = 0\end{array}\)

حداقل یکی از اعداد x و y باید صفر باشند؛ به طور مثال \(x = 0\) و \(y = 7\) جواب است.

خیر؛ اثبات :

برهان خلف : گیریم چنین اعدادی وجود داشته باشد، بنابراین :

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{a + b}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \Rightarrow \frac{1}{{a + b}} = \frac{{a + b}}{{ab}}\\\\ \Rightarrow {(a + b)^2} = ab \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 2ab = ab\\\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + ab = 0\quad \mathop \Rightarrow \limits^{ \times 2} \quad 2{a^2} + 2{b^2} + 2ab = 0\\\\ \Rightarrow {(a + b)^2} + {a^2} + {b^2} = 0\\\\ \Rightarrow \quad a = 0\quad \wedge \quad b = 0\quad \wedge \quad a + b = 0\end{array}\)

که تناقض است.

الف

صحیح است؛ زیرا:

ب)

صحیح است؛ زیرا:

الف

\(7|63\;\; \Leftrightarrow \;\;63 = 7\; \times \;9\)

ب

\(91 = 7 \times \;13\; \Leftrightarrow \;7|91\)

پ

\( - 6|54\;\; \Leftrightarrow \;\;54 = \left( { - 9} \right)\; \times \left( { - 6} \right)\)

ت

\(5| - 35\;\; \Leftrightarrow \;\; - 35 = 5 \times - 7\)

ث

\(0 = 18 \times 0\;\; \Leftrightarrow \;\;18|0\)

ج

\(a = -1\) یا \(a|1\;\; \Rightarrow \;\;a = 1\)

چ

 \(13|26\) و \(26 = 2 \times 13\;\; \Rightarrow \;\;2|26\)

\(\begin{array}{l}\forall \;m,n \in N\;;\;m \le n\; \Rightarrow \;{a^m}|{a^n}\\\\({3^9} = {3^5} \times {3^4}\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{({3^4} = q)} \;\;{3^5}|{3^9})\\\\{a^n} = {a^m} \times {a^{n - m}}\;\; \Rightarrow \;\;{a^m}|{a^n}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a|7m + 6\; \Rightarrow \;a|42m + 36\\a|6m + 5\; \Rightarrow \;a|42m + 35\end{array} \right\}\;\\\\ \Rightarrow \;a|\left( {42m + 36} \right) - \left( {42m + 35} \right)\\\\ \Rightarrow \;\;a|1\;\; \Rightarrow \;\;a = \pm 1\\\\\left| a \right| \le 1\;\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{\left| a \right| \in \mathbb{N}} \;\;\;\left| a \right| = 1 \Rightarrow a = \pm 1\end{array}\)

\(a|b\; \Rightarrow \;b = aq\; \Rightarrow \;{b^n} = {a^n}\,{q^n}\;\mathop \Rightarrow \limits^{{q^n} = q'} \;{b^n} = {a^n}\,q'\; \Rightarrow \;{a^n}|{b^n}\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a|b\; \Rightarrow \;b = a{q_1}\\c|d\; \Rightarrow \;d = c{q_2}\end{array} \right\}\; \Rightarrow \;b \times d = \left( {a \times c} \right)\underbrace {\left( {{q_1}{q_2}} \right)}_q\\\\ \Rightarrow \;bd = a \times c \times q\; \Rightarrow \;ac|bd\end{array}\)

\(\left. \begin{array}{l}a|b \Rightarrow a|mb\\a|c \Rightarrow a|nc\end{array} \right\}\;\mathop \Rightarrow \limits^ \pm \;a|mb \pm nc\)

الف

\(a|b\; \Rightarrow \;\left( {a\;,\;b} \right) = \left| a \right|\)

 \(\left| a \right||a\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{a|b} \;\;\left| a \right||b\) :شرط اول

  :شرط دوم

\(\begin{array}{l}\forall m > 0:m|a\; \wedge \quad m|b\\ \Rightarrow m|a \Rightarrow \left| m \right| \le \left| a \right|\;\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{m > 0} \;\;m \le \left| a \right|\end{array}\)

ب

\(a|b\; \Rightarrow \;\left[ {a\;,\;b} \right] = \left| b \right|\)

 \(b|\left| b \right|\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{a|b} \;a|\left| b \right|\) :شرط اول

  :شرط دوم

\(\begin{array}{l}\forall m > 0:a|m\; \wedge \quad b|m\\ \Rightarrow b|m \Rightarrow \left| b \right| \le \left| m \right|\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{m > 0} \;\;\left| b \right| \le m\end{array}\)

راهنمایی: برای اثبات (الف) باید دو شرط موجود در تعریف ب م م را برای |a| بررسی کنیم، یعنی نشان دهیم که |a||a و نیز برای هر m>0 که m|a و m|b نشان دهیم \(m \le \left| a \right|\) و همین طور برای اثبات (ب) ....

\(a|cd\;\;,\;\;b|cd\;\;,\;\;c|ab\;\;,\;\;d|ab\;\;,\;\;ab|cd\)

\(\begin{array}{l}a|b\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{(a|b \Rightarrow a|mb)} \;a|( - 1)b \Rightarrow a| - b\\\\ - \;a|a\quad ,\quad a|b\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{(a|b\; \wedge \;b|c\; \Rightarrow \;a|c)} \; - a|b\\\\a|b \Rightarrow ( - 1)a|( - 1)b\; \Rightarrow - a| - b\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a|9k + 4\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 5} \;a|45k + 20\\a|5k + 3\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 9} \;a|45k + 27\end{array} \right\}\\\\ \Rightarrow a|(45k + 27) - (a|45k + 20)\\\\ \Rightarrow a|7\;\mathop \Rightarrow \limits^{a > 1} \;a = 7\end{array}\)

a عدد اول است.

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a|5k + 1\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{{{(\;)}^2}} \;25|16{k^2} + 8k + 1\\a|5k + 1\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 5} \;25|20k + 5\end{array} \right\}\;\\\\\mathop \Rightarrow \limits^ + \;25|16{k^2} + 28k + 6\end{array}\)

 خیر؛ بطور مثال \(3|3\) و \(2|4\) ولی \(2 + 3\not{|}4 + 3\).

الف

\(\begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\;,\;(m\;,\;m + 1) = d \Rightarrow d|m\; \wedge \;d|m + 1\\\\ \Rightarrow d|m + 1 - m \Rightarrow d|1\mathop \Rightarrow \limits^{d > \;0} d = 1\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\;,\;(2k + 1\;,\;2k + 3) = d\\\\ \Rightarrow d|(2k + 1)\; \wedge \;d|(2k + 3)\\\\ \Rightarrow d|(2k + 3) - (2k + 1\;) \Rightarrow d|2\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{(d \in O)} d = 1\end{array}\)

برهان خلف:

گیریم \((p\;,\;q) = d\) و \(d \ne 1\) باشد، بنابراین:

\(d|p\quad \wedge \quad d|q\quad \mathop \Rightarrow \limits^{d \ne 1} \quad d = p\quad \wedge \quad d = q\)

تناقض \( \Rightarrow p = q\)

\(\begin{array}{l}d|p\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{{{(\;)}^m}} \;\;{d^m}|{p^m}\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times {b^{n - m}}} \\\\{d^m}|{p^m} \times {p^{n - m}} \Rightarrow {d^m}|{p^n}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a = 7k + 5\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 8} \;\;8a = 56k + 40\\a = 8k' + 7\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 7} \;\;8a = 56k' + 49\end{array} \right\}\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{( - )} \;\;a = 56k - 56k' - 9\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{ - \;9\; = \; - \;56 + 47} \;\;a = 56k - 56k' - 56 + 47\\\\ \Rightarrow a = 56\mathop {\underline {(k - k' - 1)} }\limits_q + 47 \Rightarrow r = 47\end{array}\)

\(\begin{array}{l}n \in \mathbb{Z}\;\;,\;\;a = 2n + 1\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{b|a + 2} \;\;b|2n + 3\\\\ \Rightarrow b \in Odd \Rightarrow b = 2m + 1\quad ,\quad m \in \mathbb{Z}\\\\{a^2} + {b^2} + 3 = {(2n + 1)^2} + {(2m + 1)^2} + 3\\\\ = 4{n^2} + 4n + \underline 1 + 4{m^2} + 4m + \underline 1 + \underline 3 \\\\ = 4\mathop {\underline {n(n + 1)} }\limits_{2k} + 4\mathop {\underline {m(m + 1)} }\limits_{2k'} + 5 = 8k + 8k' + 5\\\\ = 8\mathop {\underline {(k + k')} }\limits_q + 5 \Rightarrow r = 5\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{n^3} - n = n({n^2} - 1) = n(n - 1)(n + 1)\\\\n = 3k \Rightarrow {n^3} - n = 3\mathop {\underline {k(3k - 1)(3k + 1)} }\limits_q \\ \Rightarrow 3|{n^3} - n\\\\n = 3k + 1 \Rightarrow {n^3} - n = (3k + 1)(3k)(3k + 2)\\\\ = 3\mathop {\underline {k(3k + 1)(3k + 2)} }\limits_{q'} \Rightarrow 3|{n^3} - n\\\\n = 3k + 2 \Rightarrow {n^3} - n = (3k + 2)(3k + 1)(3k + 3)\\\\ = 3\mathop {\underline {(k + 1)(3k + 2)(3k + 1)} }\limits_{q''} \Rightarrow 3|{n^3} - n\end{array}\)

بنابراین در هر حالت نشان دادیم \(3|{n^3} - n\)

با فرض \(a = bq + r\) داریم:

\(\left. \begin{array}{l}n|a\\n|b \Rightarrow n|bq\end{array} \right\} \Rightarrow n|a - bq\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{a - bq = r} \;\;n|r\)

برای هر عدد صحیح دلخواه a یکی از سه حالت زیر وجود دارد:

\(\begin{array}{l}(1):\quad a = 3k \Rightarrow 3|a\\\\(2):\quad a = 3k + 1 \Rightarrow a + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)\\ \Rightarrow 3|a + 2\\\\(3):\quad a = 3k + 2 \Rightarrow a + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)\\ \Rightarrow 3|a + 4\end{array}\)

بنابراین همواره یکی از اعداد صحیح a یا \(a+2 \) یا \(a+4 \) بر 3 بخش پذیرند.

با فرض \(n \in \mathbb{Z}\)، دو عدد صحیح متوالی را به صورت n و n+1 در نظر می گیریم:

\(\begin{array}{l}{(n + 1)^3} - {n^3} = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 - {n^3}\\\\ = 3\mathop {\underline {n(n + 1)} }\limits_{2k} + 1 = 2\mathop {\underline {(3k)} }\limits_q + 1 \Rightarrow \end{array}\)

عدد فرد است.

اعداد صحیح متوالی را به صورت n+1 و n و n-1 در نظر می گیریم که حاصلضرب آن ها \({n^3} - n\) خواهد شد و قبلاً ( تمرین 11 ) نشان دادیم که \(3|{n^3} - n\)، پس \({n^3} - n\) بر 3 بخش پذیر است.

از طرفی حاصلضرب هر دو عدد صحیح متوالی، مضرب 2 است پس حاصلضرب سه عدد صحیح متوالی، بر 2 بخش پذیر است.

بنابراین \({n^3} - n\) بر 6 یعنی 3! بخش پذیر است؛ در نتیجه \(3!|{n^3} - n\).

الف

\(\begin{array}{l}\left( {\left[ {{m^2}\;,\;m} \right]\;,\;{m^5}} \right)\\\\ \Rightarrow (\;\mathop {\underline {\left[ {{m^2}\;,\;m} \right]} }\limits_{{m^2}} \;,\;{m^5}\;) = ({m^2}\;,\;{m^5}) = {m^2}\;,\;m \ne 0\end{array}\)

ب

\(\left( {2m\;,\;6{m^2}} \right) = 2\left| m \right|\quad ,\quad m \ne 0\)

(توجه داشته باشیم که : \(2m|6{m^3}\) )

پ

\(\left( {3m + 1\;,\;3m + 2} \right) = 1\)

( توجه داشته باشیم که \(3m + 1\) و \(3m + 2\) دو عدد صحیح متوالی اند.)

ت

\(\left[ {{m^7}\;,\;\left( {{m^2}\;,\;{m^3}} \right)} \right] = \left[ {{m^7}\;,\;{m^2}} \right] = \left| {{m^7}} \right|\;\;,\;\;m \ne 0\)

ث

\(\left[ {\left( {72\;,\;48} \right)\;,\;120} \right] = \left[ {24\;,\;120} \right] = 120\)

(توجه داشته باشیم که \(24|120\))

بله، مضرب 4 است؛ به طور مثال اگر 8 و 16 انتخاب شوند 8 = 8 – 16 مضرب 4 می باشد.

بله، مضرب 4 است؛ به طور مثال 8 = 5 – 13 مضرب 4 می باشد.

فرض کنید: \(a,b \in {A_1} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4{k_1} + 1}\\{b = 4{k_2} + 1}\end{array}} \right. \Rightarrow a - b = (4{k_1} + 1) - (4{k_2} + 1)\)

\( \Rightarrow a - b = 4(\underbrace {{k_1} - {k_2}}_{{k_3}}) \Rightarrow 4\mid a - b\)

بله؛ تفاضل هر دو عدد دلخواه از \({A_3}\)، مضرب 4 است.

\(\begin{array}{l}1388109 = 1 \times {10^6} + 3 \times {10^5} + 8 \times {10^4} + 8 \times {10^3} + 1 \times {10^2} + 9\\\\13571122 = 1 \times {10^7} + 3 \times {10^6} + 5 \times {10^5} + 7 \times {10^4} + 1 \times {10^3} + 1 \times {10^2} + 2 \times 10 + 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l}A\mathop = \limits^9 1 \times {10^6} + 3 \times {10^5} + 5 \times {10^4} + 8 \times {10^3} + 1 \times {10^2} + 1 \times {10^1} + 2\\{10^6}\mathop \equiv \limits^9 1\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 1} \;1 \times {10^6}\mathop \equiv \limits^9 1\\{10^5}\mathop \equiv \limits^9 1\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 3} \;3 \times {10^5}\mathop \equiv \limits^9 3\\{10^4}\mathop \equiv \limits^9 1\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 5} \;5 \times {10^4}\mathop \equiv \limits^9 5\\{10^3}\mathop \equiv \limits^9 1\; \Rightarrow \;8 \times {10^3}\mathop \equiv \limits^9 8\\{10^2}\mathop \equiv \limits^9 1\; \Rightarrow \;1 \times {10^2}\mathop \equiv \limits^9 1\\{10^1}\mathop \equiv \limits^9 1\; \Rightarrow \;1 \times {10^1}\mathop \equiv \limits^9 1\\\frac{{2\mathop \equiv \limits^9 2}}{{\;\;\;\;A\mathop \equiv \limits^9 1 + 3 + 5 + 8 + 1 + 1 + 2}}\\\end{array}\)

\(\begin{array}{l}A = {10^{n - 1}} \times {a_{n - 1}} + \ldots + \ldots + \ldots + {10^2}{a_2} + {10^1}{a_1} + {10^0}{a_0}\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^9 1 \times {a_{n - 1}} + \ldots + 1 \times {a_1} + {a_0}\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^9 {a_{n - 1}} + {a_{n - 2}} + \ldots + {a_2} + {a_1} + {a_0}\end{array}\)

\(A = 5 \times {10^5} + 9 \times {10^4} + 8 \times {10^3} + 3 \times {10^2} + 4 \times 10 + 8\)

\(\left. \begin{array}{l}{10^5}\mathop \equiv \limits^3 \;{1_{}}{\mathop \to \limits^{ \times 5} _{}}5 \times {10^5}\mathop \equiv \limits^3 \;5\\{10^4}\mathop \equiv \limits^3 \;1_{}\mathop \to \limits^{ \times 9} _{}9 \times {10^4}\mathop \equiv \limits^3 \;9\\{10^3}\mathop \equiv \limits^3 \;1_{}\mathop \to \limits^{ \times 8} _{}8 \times {10^3}\mathop \equiv \limits^3 \;8\\{10^2}\mathop \equiv \limits^3 \;1_{}^{}\mathop \to \limits^{ \times 3} _{}3 \times {10^2}\mathop \equiv \limits^3 \;3\\10\mathop \equiv \limits^3 \;{1_{}}{\mathop \to \limits^{ \times 4} _{}}4 \times 10\mathop \equiv \limits^3 \;4\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{}\end{array}\quad \,\,\,{\kern 1pt} 8\mathop \equiv \limits^3 8\end{array} \right\}\mathop \to \limits^ + A\mathop \equiv \limits^3 5 + 9 + 8 + 3 + 4 + 8 \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^3 1 \Rightarrow r = 1 \)

قاعده :  باقیمانده تقسیم هر عدد بر 3 ، برابر است با باقیمانده تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 3.

\(\begin{array}{l}A = 4 \times {10^6} + 9 \times {10^5} + 8 \times {10^4} + \;...\; + 2 \times 10 + 7\\\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^{11} \;4 \times \;1\; + \;9\; \times ( - 1) + \;8\; \times 1 + ... + 2 \times ( - 1) + 7\\\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^{11} \;7 - 2 + 3 - 5 + 8 - 9 + 4 = 6\; \Rightarrow \;r = 6\end{array}\)

\(\begin{array}{l}A = {10^{n - 1}}\,{a_{n - 1}} + {10^{n - 2}}\,{a_{n - 2}} + \;...\; + {10^2}\,{a_2} + {10^1}\,{a_1} + {a_0}\\\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^2 0 \times \,{a_{n - 1}} + \;0 \times \,{a_{n - 2}}\; + \;...\; + \;0\; \times {a_2} + 0 \times \,{a_1} + {a_0}\\\\ \Rightarrow A\mathop \equiv \limits^2 \;{a_0}\;\;,\;\;A\mathop \equiv \limits^5 \;{a_0}\;\;,\;\;A\mathop \equiv \limits^{10} {a_0}\end{array}\)

تعیین بخش پذیری بر عدد 2:

باقیمانده تقسیم هر عدد بر 2، همان باقیمانده تقسیم رقم یکان آن عدد بر 2 می باشد. بنابراین عددی بر 2 بخش پذیر است که رقم یکان آن بر 2 بخش پذیر باسد؛ یعنی زقم بکان آن عددی زوج باشد.

تعیین بخش پذیری بر عدد 5:

باقیمانده تقسیم هر عدد بر 2، همان باقیمانده تقسیم رقم یکان آن عدد بر 5 می باشد. بنابراین عددی بر 5 بخش پذیر است که رقم یکان آن بر 5 بخش پذیر باسد؛ یعنی زقم بکان آن صفر یا 5  باشد.

تعیین بخش پذیری بر عدد 10:

باقیمانده تقسیم هر عدد بر 10، همان رقم یکان آن می باشد. بنابراین عددی بر 10 بخش پذیر است یکان آن صفر باشد.

الف

جمعه

ب

با روز جمعه است.

29 روز در مهر ماه و سه ماه آبان، آذر و دی و 12 روز تا 12 بهمن، فاصلهٔ 1 مهر است تا 12 بهمن؛ یعنی 131=12+30×3+29=d از طرفی \(131\mathop \equiv \limits^7 \;5\) و با توجه به جدول فوق روز متناظر با عدد 5 پنجشنبه است، یعنی 12 بهمن در آن سال پنجشنبه است.

برای سال 1404 ، می دانیم هفتم تیر شنبه می باشد؛

\(\begin{array}{l}d = (31 - 7) + 2 \times 31 + 4 \times 30 + 22 = \\\\24 + 62 + 120 + 22 = 228\\\\228\mathop \equiv \limits^7 4\end{array}\)

بنابراین:

22 بهمن ماه سال 1404 در روز چهارشنبه می باشد.

الف

\(4 × 4 + 1 × 3 = 19\)

ب

\(1 × 4 + 3 × 5 = 19\)

\( - 4 \times x + 2 \times y = 19\) زوج

\(\begin{array}{l}4x + 5y = 9\; \Rightarrow \;4x\mathop \equiv \limits^5 9\\\\ \Rightarrow \;4x\mathop \equiv \limits^5 9 - \;5\; \Rightarrow \;4x\mathop \equiv \limits^5 4\\\\ \Rightarrow \;x\mathop \equiv \limits^5 1\; \Rightarrow \;\left. {\underline {\, {\;x = 5k + 1\;} \,}}\! \right| \\\\ \Rightarrow \;4(5k + 1) + 5y = 9\\\\ \Rightarrow \;20k + 4 + 5y = 9\\\\ \Rightarrow \;20k + 5y = 5\\\\ \Rightarrow \;4k + y = 1\; \Rightarrow \;\left. {\underline {\, {\;y = - 4\,k + 1\;} \,}}\! \right| \end{array}\)

\(\begin{array}{l}4x + 3y = 19\; \Rightarrow \;4x\mathop \equiv \limits^3 \;19\\\\ \Rightarrow \;4x\mathop \equiv \limits^3 \;1\; \Rightarrow \;4x\mathop \equiv \limits^3 \;1 + \;3\\\\ \Rightarrow \;4x\mathop \equiv \limits^3 \;4 \times 1\; \Rightarrow \underline {\;x = 3k + 1\;} \\\\ \Rightarrow \;4(3k + 1) + 3y = 19\\\\ \Rightarrow \;12k + 4 + 3y = 19\\\\ \Rightarrow \;12k + 3y = 15\; \Rightarrow \;4k + y = 5\\\\ \Rightarrow \;\underline {\;y = - 4k + 5\;} \\\\ \Rightarrow \;k = 0\; \Rightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 5\end{array} \right.\;\;,\;\;k = 1\; \Rightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)

به دسته هم نهشتی  \({\left[ 3 \right]_{\;9}} = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|x = 9k + 3} \right\}\)  تعلق دارد  \(1398\mathop \equiv \limits^9 1 + 3 + 9 + 8\mathop \equiv \limits^9 3 \Rightarrow \)

باقیمانده تقسیم هر عدد صحیح همچون k بر عدد 3 ، یکی از اعداد 0 یا 1 یا 2 می باشد، به عبارت دیگر \(3|k - 0\) یا \(3|k - 1\) یا \(3|k - 2\) وطبق تعریف هم نهشتی \(k\mathop \equiv \limits^3 0\) یا \(k\mathop \equiv \limits^3 1\) یا \(k\mathop \equiv \limits^3 2\) 

\(\begin{array}{l}a\mathop \equiv \limits^m b \Rightarrow a - b\mathop \equiv \limits^m 0 \Rightarrow m|a - b\quad \\\\\mathop \Rightarrow \limits^{n|m} \quad n|a - b \Rightarrow a - b\mathop \equiv \limits^n 0 \Rightarrow a\mathop \equiv \limits^n b\end{array}\)

\(\left. \begin{array}{l}a\mathop \equiv \limits^m b\quad \mathop \Rightarrow \limits^{d|m} \quad a\mathop \equiv \limits^d b\\b\mathop \equiv \limits^m c\quad \mathop \Rightarrow \limits^{d|n} \quad b\mathop \equiv \limits^d c\end{array} \right\} \Rightarrow a\mathop \equiv \limits^d c\)

روش اول : گیریم باقیمانده تقسیم دو عدد بر m برابر 2 باشد، در نتیجه:

\(\left. \begin{array}{l}a\mathop \equiv \limits^m r\\b\mathop \equiv \limits^m r\end{array} \right\} \Rightarrow a\mathop \equiv \limits^m b\)

روش دوم:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a = mq + r\\b = mq' + r\end{array} \right\} \Rightarrow a - b = m(q - q')\\\\ \Rightarrow m|a - b \Rightarrow a\mathop \equiv \limits^m b\end{array}\)

اگر \(a\mathop \equiv \limits^m b\) آنگاه باقیمانده تقسیم دو عدد بر a و b بر m ، مساوی است.

اثبات:

گیریم باقیمانده تقسیم a بر  m برابر \({r_1}\) و باقیمانده تقسیم b بر m ، برابر \({r_2}\) باشد، پس:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a = mq + {r_1}\\b = mq' + {r_2}\end{array} \right\}\\\\ \Rightarrow a - b = m(q - q') + ({r_1} - {r_2})\quad \left( I \right)\\\\a\mathop \equiv \limits^m b \Rightarrow a - b = mq''\quad \left( {II} \right)\\\\\left. \begin{array}{l}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( I \right)\;,\;\left( {II} \right)} \;\;mq'' = m(q - q') + ({r_1} - {r_2})\\\\ \Rightarrow ({r_1} - {r_2}) = m(q'' + q' - q) \Rightarrow m|{r_1} - {r_2}\\\\0 \le {r_1}\;,\;{r_2} < m \Rightarrow \left| {{r_1} - {r_2}} \right| < m\end{array} \right\}\\\\ \Rightarrow \quad \left( {III} \right)\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {III} \right)} {r_1} - {r_2} = 0 \Rightarrow {r_1} = {r_2}\end{array}\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\0\end{array}} \right){a^n} = {a^n}\mathop \equiv \limits^{ab} {a^n}\\\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\1\end{array}} \right){a^{n - 1}}b\mathop \equiv \limits^{ab} 0\\\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\2\end{array}} \right){a^{n - 2}}{b^2}\mathop \equiv \limits^{ab} 0\\\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\3\end{array}} \right){a^{n - 3}}{b^3}\mathop \equiv \limits^{ab} 0\\\;\;\, \vdots \\\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\{n - 1}\end{array}} \right)a{b^{n - 1}}\mathop \equiv \limits^{ab} 0\\\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\n\end{array}} \right){b^n} = {b^n}\mathop \equiv \limits^{ab} {b^n}\end{array} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^ + \;{(a + b)^n}\mathop \equiv \limits^{ab} {a^n} + {b^n}\)

طبق تمرین 7، می توان نوشت:

\(\begin{array}{l}{(23)^{51}} = {(11 + 12)^{51}}\mathop \equiv \limits^{11 \times 12} {11^{51}} + {12^{51}}\\\\ \Rightarrow {(23)^{51}} - ({11^{51}} + {12^{51}})\mathop \equiv \limits^{132} 0\\\\ \Rightarrow {23^{51}} - {11^{51}} - {12^{51}}\mathop \equiv \limits^{132} 0\end{array}\)

عدد \({23^{51}} - {11^{51}} - {12^{51}}\) بر 132 بخش پذیر است.

\(\begin{array}{l}{2^5}\mathop \equiv \limits^{23} 9\mathop \to \limits^{{{()}^2}} {2^{10}}\mathop \equiv \limits^{23} 81\mathop \equiv \limits^{23} 12\\\\\mathop \to \limits^{ \times 2} {2^{11}}\mathop \equiv \limits^{23} 24\mathop \equiv \limits^{23} 1\mathop \to \limits^{ + 7} {2^{11}} + 7\mathop \equiv \limits^{23} 8\\\\\mathop \to \limits^{ \times 9} ({2^{11}} + 7) \times 9\mathop \equiv \limits^{23} 72\mathop \equiv \limits^{23} 3 \Rightarrow r = 3\end{array}\)

طبق تمرین 5، دو عدد 3a-5 و 4a-7  به پیمانه 10، با یکدیگر هم نهشت اند:

\(\begin{array}{l}4a - 7\mathop { \equiv \;}\limits^{10} 3a - 5 \Rightarrow 4a - 3a\mathop \equiv \limits^{10} \;7 - 5\\\\ \Rightarrow a\mathop \equiv \limits^{10} \;2\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \times 9} \;\;9\;a\mathop \equiv \limits^{10} 18\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{ + 6} \;\;9a + 6\mathop \equiv \limits^{10} 24\mathop \equiv \limits^{10} \;4 \Rightarrow 9a + 6\mathop \equiv \limits^{10} 4\end{array}\)

رقم یکان 4 است.

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}1!\;\mathop \equiv \limits^{10} \;1\\2!\;\mathop \equiv \limits^{10} \;2\\3!\;\mathop \equiv \limits^{10} \;6\\4!\;\mathop \equiv \limits^{10} \;24\;\mathop \equiv \limits^{10} \;4\\5!\;\mathop \equiv \limits^{10} \;20\;\mathop \equiv \limits^{10} \;0\\6!\;\mathop \equiv \limits^{10} \;0\\\;\;\;\; \vdots \\500!\;\mathop \equiv \limits^{10} \;0\end{array} \right\}\\\\\mathop \Rightarrow \limits^ + A\;\mathop \equiv \limits^{10} \;1 + 2 + 6 + 4 + 0 + \cdots + 0 = 13\;\mathop \equiv \limits^{10} \;3\\\\ \Rightarrow A\;\mathop \equiv \limits^{10} \;3\end{array}\)

\(\begin{array}{l}7x + 5y = 11 \Rightarrow 7x = - 5y + 11\\\\ \Rightarrow 7x\;\mathop \equiv \limits^5 \;11 \Rightarrow 7x\;\mathop \equiv \limits^5 \;11 + 2 \times 5 = 21\;\\\\\;\mathop \Rightarrow \limits^{ \div 7} \;x\;\mathop \equiv \limits^5 \;3\;\; \Rightarrow x = 5k + 3\;,\;k \in \mathbb{Z}\quad \\\\\mathop \Rightarrow \limits^{7x + 5y = 11} \;\;\,7(5k + 3) + 5y = 11\\\\ \Rightarrow y = - 7k - 2\;\;,\;\;k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

تعداد اسکناس های 2000 تومانی را x و تعداد اسکناس های 5000 تومانی را y در نظر می گیریم؛ بنابراین:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{2000x + 5000y = 29000\:\:}\\{}\\{\mathop \Rightarrow \limits^{ \div 1000} \:\:2x + 5y = 29}\\{}\\{5y\:\mathop \equiv \limits^2 \:29 \Rightarrow 5y\:\mathop \equiv \limits^2 \:29 - 12 \times 2 = 5}\\{}\\{\mathop \Rightarrow \limits^{ \div 5} \:\:y\:\mathop \equiv \limits^2 \:1 \Rightarrow y = 2k + 1}\\{}\\{\mathop \Rightarrow \limits^{2x + 5y = 29} \:\:\:2x + 5(2k + 1) = 29}\\{}\\{ \Rightarrow x = - 5k + 12}\end{array}\)

به 3 طریق می توان خرد کرد.

الف

\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{423\:\mathop \equiv \limits^{11} \:5 \Rightarrow 423x\:\mathop \equiv \limits^{11} \:5x}\\{79\:\mathop \equiv \limits^{11} \:2}\end{array}} \right\}\\\\ \Rightarrow 5x\:\mathop \equiv \limits^{11} \:2 \Rightarrow 5x\:\mathop \equiv \limits^{11} \:2 + 3 \times 11 = 35\end{array}\\\begin{array}{l}\\x\:\mathop \equiv \limits^{11} \:7 \Rightarrow x = 11k + 7\;\;\:,\;\;\:k \in \mathbb{Z}\end{array}\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}8x\:\mathop \equiv \limits^{12} \:20 - 12 = 8 \Rightarrow x\:\mathop \equiv \limits^3 \:1\\\\ \Rightarrow x = 3k + 1\;\;\:,\;\;\:k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

ج

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{(51\:,\:6) = 3}\\{3\not{|}11}\end{array}} \right\} \Rightarrow \)

معادله جواب ندارد.

= اسفند + بهمن + دی + آذر + آبان + مهر

\((30 - 1) + 4 \times 30 + 7\: = 156\mathop \equiv \limits^7 \:2\)

7 اسفند روز سه شنبه می باشد.

= بهمن + دی + آذر + آبان + مهر + شهریور

\( = 31 + 4 \times 30 + 12 = 163\:\mathop \equiv \limits^7 \:2\)

در جدول برای روز جمعه عدد 2 را می نویسیم، سپس اعداد قبل و بعد آن را تعیین می کنیم؛ عدد صفر مربوط به روز 31 مرداد است.

31 مرداد روز چهارشنبه بوده است.

\(\begin{array}{l}5a + 9\;\mathop \equiv \limits^{11} \;0 \Rightarrow 5a\;\mathop \equiv \limits^{11} \; - 9\;\mathop \equiv \limits^{11} \; - 9 + 4 \times 11 = 35\\\\\mathop \to \limits^{ \div 5} a\;\mathop \equiv \limits^{11} \;7 \Rightarrow a = 11k + 7\quad ,\quad k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

تعداد وزنه های 3 کیلویی را با x و تعداد وزن های 5 کیلویی را با y نمایش می دهیم؛ بنابراین:

\(\begin{array}{l}3x + 5y = 23 \Rightarrow 5y\;\mathop \equiv \limits^3 \;23\;\mathop \equiv \limits^3 \;23 - 3 = 20\\\\ \Rightarrow y\;\mathop \equiv \limits^3 \;4 \Rightarrow y = 3k + 4\\\\{\mathop \to \limits^{3x + 5y = 23} _{}}3x + 5(3k + 4) = 23 \Rightarrow x = - 5k + 1\end{array}\)

به 2 طریق می توان وزن کرد.

تعداد گل های نوع اول را x و تعداد گل های نوع دوم را  y می نامیم؛ بنابراین:

\(\begin{array}{l}x + y = 9 \Rightarrow x = - y + 9 \Rightarrow x\;\mathop \equiv \limits^1 \;9\\\\ \Rightarrow x = k + 9\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{x + y = 9} \;\;k + 9 + y = 9\\\\ \Rightarrow y = - \;k\end{array}\)

به 10 طریق می توان یک دسته گل شامل 9 شاخه تهیه کرد.

تعداد سؤالات 7 امتیازی گه امتیاز کامل گرفته را با x و تعداد سؤالات 9 امتیازی را که امتیاز کامل گرفته را با y  نمایش می دهیم؛ بنابراین:

\(\begin{array}{l}7x + 9y = 73 \Rightarrow 9y\;\mathop \equiv \limits^7 \;73\;\mathop \equiv \limits^7 \;3\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{ \div 3} \;\;3y\;\mathop \equiv \limits^7 \;1\;\mathop \equiv \limits^7 \;1 - 7 = - 6\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{ \div 3} \;\;y\;\mathop \equiv \limits^7 \; - 2 \Rightarrow y = 7k - 2\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{7x + 9y = 73} \;\;7x + 9(7k - 2) = 73\\\\ \Rightarrow x = - 9k + 13\end{array}\)

\(k = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow \)

فقط به یک صورت می توانسته این امتیاز را کسب کند.

زیرا:

\(a = 0 \Rightarrow ab = 0 \times b = 0\)

به این دلیل که حاصل ضرب سه عدد زمانی برابر با عدد فرد می باشد که هیچ کدام از اعداد داده شده، زوج نباشند؛ پس بایستی حتما فرد باشند.

به این دلیل که یک طرف این ترکیب همواره درست است و طرف دیگر آن همیشه درست نمی باشد؛ به عبارتی دیگر:

\(\begin{array}{l}a = b \Rightarrow {a^2} = {b^2}\\\\{a^2} = {b^2} \Rightarrow a = \pm b\\\\{a^2} = {b^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\\\a = - b\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \\\\a = b\not \Leftrightarrow {a^2} = {b^2}\end{array}\)