جواب مرور فصل 8 صفحه 110 درس 8 ریاضی هفتم (بردار و مختصات)

مثال

فرض کن از نقطه A می‌خوای بری به نقطه B. اگه یه پیکان از A به سمت B بکشی، این یه بردار حساب می‌شه. جهت پیکان از A به B هست و طول پیکان هم فاصله‌ی بین A و B رو نشون می‌ده. یا مثلاً وقتی میگی «۳ قدم به سمت شرق»، این خودش یه جورایی داره یه بردار رو توصیف می‌کنه.

مثال

اگه یه بردار از سمت چپ دفترت به سمت راست دفترت کشیده باشی، راستای این بردار افقی هست. اگه دو تا بردار داشته باشیم که هر دو روی خط‌های موازی باشن، می‌گیم هم‌راستا هستن، حتی اگه جهتشون مخالف هم باشه (یکی به راست، یکی به چپ).

مثال

فرض کن یه مربع روی صفحه‌ی مختصات داری. اگه بخوای این مربع رو ۲ واحد به سمت راست و ۳ واحد به سمت بالا ببری، از یه بردار انتقال استفاده می‌کنی. این بردار به همه‌ی گوشه‌های مربع میگه که دقیقاً چقدر و به کدوم سمت حرکت کنن تا مربع به جای جدیدش منتقل بشه. مثلاً برداری که به سمت راست ۲ واحد و به سمت بالا ۳ واحد حرکت رو نشون میده، میشه بردار انتقال ما.

مثال

اگه روی کاغذ دو نقطه A و B داشته باشی و یه خط راست از A به B بکشی و یه فلش کوچیک روی B (به سمت خارج از A) بذاری، این یه پاره‌خط جهت‌دار از A به B هست. این پاره‌خط جهت‌دار، بردار AB رو نشون میده.

مثال

فرض کنید یک هواپیما از تهران (نقطه A) به سمت مشهد (نقطه B) با سرعت و در مسیری مشخص پرواز می‌کند. این جابجایی را می‌توان با بردار \(\overrightarrow {AB} \) نمایش داد.

اندازه بردار: فاصله هوایی مستقیم بین تهران و مشهد.

جهت بردار: از سمت تهران به سمت مشهد.

مثال

نقطۀ P با مختصات \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4\\{ - 2}\end{array}} \right]\) را در نظر بگیرید:

عدد 4 (مؤلفۀ x) نشان می دهد که نقطۀ P به اندازه 4 واحد در جهت مثبت محور x (به سمت راستِ مبدأ) قرار دارد.

عدد -2 (مؤلفۀ y) نشان می دهد که نقطۀ P به اندازه 2 واحد در جهت منفی محور y (به سمت پایین مبدأ) قرار دارد.

مثال

فرض کنید یک مهره شطرنج از خانهB-2  با مختصات \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\2\end{array}} \right]\) به خانه C-4 با مختصات \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\4\end{array}} \right]\) روی صفحه شطرنج منتقل می‌شود. بردار انتقال زیر، این حرکت را نشان می دهد. این بردار بیان می کند که مهره 1 واحد در راستای افق (3-2=1) و 2 واحد در راستای عمودی (4-2=2) جابجا شده است.

مثال

شخصی ابتدا با بردار \(\overrightarrow a = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}\\4\end{array}} \right]\) مسافتی را طی می‌کند (مثلاً ۴ کیلومتر به شرق) و سپس از همان نقطه، با بردار \(\overrightarrow b = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5\\1\end{array}} \right]\) مسافت دیگری را طی می‌کند (مثلاً ۳ کیلومتر به شمال). بردار \(\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b \) جابجایی کل این شخص را از نقطه شروع اولیه تا نقطه پایان ثانویه نشان می‌دهد.

\(\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}\\4\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5\\1\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 + 5}\\{4 + 1}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\5\end{array}} \right]\)

مثال

اگر نقطه شروع یک بردار \(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\5\end{array}} \right]\) و نقطه پایان آن \(N = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}7\\2\end{array}} \right]\) باشد، مختصات بردار MN عبارت است از:

\(\overrightarrow {MN} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}7\\2\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\5\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{7 - 1}\\{2 - 5}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6\\{ - 3}\end{array}} \right]\)

مثال

اگر بردار \(\overrightarrow d = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\5\end{array}} \right]\) باشد، بردار قرینۀ آن \(\overrightarrow {d'} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 5}\end{array}} \right]\) می باشد:

\(\overrightarrow d + \overrightarrow {d'} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 5}\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\5\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 + ( - 2)}\\{ - 5 + 5}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\end{array}} \right]\)

اگر یک جسم از نقطه \(P = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\4\end{array}} \right]\) شروع به حرکت کند و پس از طی مسیری دوباره به همان نقطه \(P = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\4\end{array}} \right]\) بازگردد، بردار جابجایی کلی آن، بردار صفر خواهد بود:

\(\overrightarrow {PP} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\4\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\4\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - 3}\\{4 - 4}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\end{array}} \right]\)

مثال

نقطه \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5\\3\end{array}} \right]\) در ناحیه اول قرار دارد.

نقطه \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}\\2\end{array}} \right]\) در ناحیه دوم قرار دارد.

نقطه \(C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\{ - 2}\end{array}} \right]\) در ناحیه سوم قرار دارد.

نقطه \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 4}\end{array}} \right]\) در ناحیه چهارم قرار دارد.

نقطه \(E = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\4\end{array}} \right]\) روی محور عرض ها (محور y) و نقطه \(F = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}\\0\end{array}} \right]\) روی محور طول ها (محور x) قرار دارد.

مثال

فرض کنید بردار \(\overrightarrow m = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 2}\end{array}} \right]\) است. بردار دیگری، n، از نقطه \(P = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\4\end{array}} \right]\) به نقطه \(Q = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4\\2\end{array}} \right]\) رسم شده است. مختصات بردار n عبارت است از:

\(\overrightarrow n = \overrightarrow {PQ} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4\\2\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\4\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 2}\end{array}} \right]\)

از آن جایی که مختصات بردارهای m و  n هر دو \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 2}\end{array}} \right]\) است، بنابراین \(\overrightarrow m = \overrightarrow n \) . این دو بردار، با وجود داشتن نقاط شروع متفاوت، نشان‌دهنده یک جابجایی یکسان (۳ واحد به راست و ۲ واحد به پایین) هستند.