جواب تمرین صفحه 109 درس 8 ریاضی هفتم (بردار و مختصات)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\3\end{array}} \right]\\\\\overrightarrow {AC} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\0\end{array}} \right]\\\\\overrightarrow {AD} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - 1}\end{array}} \right]\\\\\overrightarrow {AE} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\0\end{array}} \right]\end{array}\)

\(\begin{array}{l}w = x = l = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - 4}\end{array}} \right]\\\\t = z = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}\\2\end{array}} \right]\\\\u = v = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\1\end{array}} \right]\end{array}\)

الف

\(\overrightarrow d = \left[ \begin{array}{l}4\\ - 2\end{array} \right]\; \Rightarrow \;\overrightarrow d ' = \left[ \begin{array}{l} - 4\\2\end{array} \right]\)

ب

برای به دست آوردن مختصات قرینۀ یک بردار، کافی است هر دو مؤلفه آن را قرینه کنیم:

\(\overrightarrow d = \left[ \begin{array}{l}4\\ - 2\end{array} \right]\; \Rightarrow \;\overrightarrow d ' = \left[ \begin{array}{l} - ( - 4)\\ - ( - 2)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 4\\2\end{array} \right]\)

پ

\(\overrightarrow d + \overrightarrow d ' = \left[ \begin{array}{l}4\\ - 2\end{array} \right]\; + \left[ \begin{array}{l} - 4\\2\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right]\)

\(\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3&4&{}&n\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\0\end{array}} \right]}&{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4\\1\end{array}} \right]}&{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6\\2\end{array}} \right]}&{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}8\\3\end{array}} \right]}&{}&{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2n}\\{n - 1}\end{array}} \right]}\end{array}\)

ابتدا بردار 3 خانه به سمت راست و 4 خانه به سمت پایین را می نویسیم:

\(\overrightarrow a = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 4}\end{array}} \right]\)

حال بردار بعدی را که 2 خانه به سمت چپ هست می نویسیم:

\(\overrightarrow b = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\0\end{array}} \right]\)

حال بردار برآیند را که از جمع این دو بردار بدست می آید، را می یابیم:

\(\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{ - 4}\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\0\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 4}\end{array}} \right]\)

حال مختصات نقطه نهایی را به کمک مختصات نقطه ابتدایی و این بردار برآیند بدست آمده، می یابیم:

\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\3\end{array}} \right]\,\,\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{\overrightarrow c = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 4}\end{array}} \right]} \,\,\,\,\,A' = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 + 1}\\{3 + ( - 4)}\end{array}} \right]\\\\ \Rightarrow A' = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\{ - 1}\end{array}} \right]\end{array}\)

مختصات بردار + مختصات ابتدا = مختصات انتها

\(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a\\b\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + a}\\{y + b}\end{array}} \right]\)