گام به گام تمرین صفحه 63 درس 3 هندسه (1) (چند ضلعی ها)

1)

\(\begin{array}{l}\frac{{n\left( {n - 2} \right)}}{3} = n \Rightarrow {n^2} - 2n = 3n\\\\ \Rightarrow {n^2} = 5n \Rightarrow n = 5\end{array}\)

2)

قطرهای BD و B’D’ را در دو چهار ضلعی  رسم می کنیم. بدیهی است که دو مثلث BCD و B’C’D’ همنهشت اند . بنابراین :

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{{B'}_1}}\;\;\mathop  \Rightarrow \limits^{\widehat B = \widehat {B'}} \;\;\widehat {{B_2}} = \widehat {{{B'}_2}}\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}AB = A'B'\\\widehat {{B_2}} = \widehat {{{B'}_2}}\\BD = B'D'\end{array} \right\} \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta  D \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta  D'\\\\\mathop  \Rightarrow \limits^{B\mathop C\limits^\Delta  D \cong B'\mathop {C'}\limits^\Delta  D'} \;A\mathop {BC}\limits^{} D \cong A'\mathop {B'C'}\limits^{} D'\end{array}\)

قطرهای AC و A’C’ را در دو چهار ضلعی  رسم می کنیم. بدیهی است که دو مثلث ABC و A’B’C’ همنهشت اند . بنابراین :

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{{A'}_1}}\;\;\mathop  \Rightarrow \limits^{\widehat A = \widehat {A'}} \;\;\widehat {{A_2}} = \widehat {{{A'}_2}}\)

در دو مثلث ADC و A’D’C’ :

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}CD = C'D'\\\widehat {{A_2}} = \widehat {{{A'}_2}}\\AC = A'C'\end{array} \right\} \Rightarrow A\mathop D\limits^\Delta  C \cong A'\mathop {D'}\limits^\Delta  C'\\\\\mathop  \Rightarrow \limits^{A\mathop B\limits^\Delta  C \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta  C'} \;A\mathop {BC}\limits^{} D \cong A'\mathop {B'C'}\limits^{} D'\end{array}\)

3)

\(\begin{array}{l}A\mathop {BC}\limits^{} D:\quad \widehat A + \widehat B = {180^ \circ } \Rightarrow \frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B}}{2} = {90^ \circ }\\O\mathop A\limits^\Delta  B:\quad \widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat O = {90^ \circ }\quad \left( i \right)\end{array}\)

به روش مشابه ثابت می شود که :

\(\begin{array}{l}O\mathop A\limits^\Delta  B:\quad \widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}} = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat N = {90^ \circ }\quad \left( {ii} \right)\\\\P\mathop B\limits^\Delta  C:\quad \widehat {{B_2}} + \widehat {{C_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat P = {90^ \circ }\quad \left( {iii} \right)\\\\\widehat M = {360^ \circ } - \left( {\widehat O + \widehat N + \widehat P} \right) = {90^ \circ }\quad \left( {iv} \right)\\\end{array}\)

\(\left( i \right)\;,\;\left( {ii} \right)\;,\;\left( {iii} \right)\;,\;\left( {iv} \right) \Rightarrow \widehat M = \widehat N = \widehat O = \widehat P = {90^ \circ } \Rightarrow\)

چهار ضلعی MNOP مستطیل است :

4)

در مثلث قائم الزاویه، میانه وارد بر وتر، نصف وتر است؛ بنابراین :

\(\begin{array}{l}A\mathop B\limits^\Delta  C:\quad \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = {90^ \circ }\\\widehat C = {30^ \circ }\end{array} \right. \Rightarrow \widehat B = {60^ \circ }\\A\mathop B\limits^\Delta  M:\quad AM = BM \Rightarrow B\widehat AM = \widehat B = {60^ \circ }\\\\ \Rightarrow AM = BM = AB \Rightarrow AB = \frac{{BC}}{2}\\\\A\mathop B\limits^\Delta  C:\quad \widehat A = {90^ \circ } \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\\\\mathop  \Rightarrow \limits^{AB = \frac{{BC}}{2}} \;\;A{C^2} = B{C^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} = \frac{{3B{C^2}}}{4}\\\\ \Rightarrow AC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}BC\\\\A\mathop B\limits^\Delta  C:\quad \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = {90^ \circ }\\\widehat B = {45^ \circ }\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \widehat B = \widehat C \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = AC\\A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow 2A{B^2} = B{C^2} \Rightarrow A{B^2} = \frac{{B{C^2}}}{2}\\\\ \Rightarrow AB = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}BC\end{array}\)

5)

در مثلث قائم الزاویه، میانه وارد بر وتر، نصف وتر است؛ بنابراین :

\(\begin{array}{l}A\mathop B\limits^\Delta  C:\quad AM = BM = \frac{{BC}}{2}\\\\ \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat B = {15^ \circ } \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{A_1}} + \widehat B = {30^ \circ }\end{array}\)

از طرف دیگر در مثلث قائم الزاویه ضلع رو به رو به زاویه \({30^ \circ }\) ، نصف وتر است :

\(\begin{array}{l}A\mathop M\limits^\Delta  H:\quad \left\{ \begin{array}{l}\widehat H = {90^ \circ }\\\widehat {{M_1}} = {30^ \circ }\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow AH = \frac{{AM}}{2}\\\\ \Rightarrow AH = \frac{{\frac{{BC}}{2}}}{2} = \frac{{BC}}{4}\end{array}\)

6)

اگر در یک چهار ضلعی، دو ضلع موازی و مساوی باشند، آن چهار ضلعی متوازی الاضلاع است. در چهار ضلعی BMDN داریم :

\(\begin{array}{l}AD = BC\;\mathop  \Rightarrow \limits^{ \div 2} \;\left\{ \begin{array}{l}BN = MD\\BN\parallel MD\end{array} \right. \Rightarrow BM\parallel DN\\\\A\mathop D\limits^\Delta  Q:\quad MP\parallel DQ \Rightarrow \frac{{AP}}{{PQ}} = \frac{{AM}}{{MQ}} = 1 \Rightarrow AP = PQ\\\\B\mathop C\limits^\Delta  P:\quad BP\parallel QN \Rightarrow \frac{{CQ}}{{QP}} = \frac{{CN}}{{NB}} = 1 \Rightarrow CQ = PQ\\\\ \Rightarrow AP = PQ = QC\end{array}\)

7)

برهان :

فرض کنیم نقاط M ، N ، P و F به ترتیب وسط اضلاع AB ، BC ، CD و AD از چهار ضلعی ABCD باشند . باید ثابت کنیم چهار ضلعی MNEF متوازی الاضلاع است. قطر AC را رسم می کنیم :

\(\begin{array}{l}A\mathop B\limits^\Delta  C:\quad \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{1}{2}\;\; \Rightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel AC\\MN = \frac{{AC}}{2}\end{array} \right.\quad \left( i \right)\\\\A\mathop C\limits^\Delta  D:\quad \frac{{DE}}{{DC}} = \frac{{DF}}{{DA}} = \frac{1}{2}\;\; \Rightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}EF\parallel AC\\EF = \frac{{AC}}{2}\end{array} \right.\quad \left( {ii} \right)\\\\\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( i \right),\left( {ii} \right)} \quad \left\{ \begin{array}{l}MN\parallel EF\\MN = EF\end{array} \right.\end{array}\)

به عبارت دیگر در چهار ضلعی MNEF ، دو ضلع موازی و مساوی اند . لذا چهار ضلعی MNEF متوازی الاضلاع است .

اگر قطرهای چهار ضلعی ABCD بر هم عمود باشند، چهار ضلعی MNEF مستطیل است . زیرا قطرهای چهار ضلعی ABCD با چهار ضلعی MNEF موازی اند .

اگر قطرهای چهار ضلعی ABCD با هم مساوی باشند، چهار ضلعی MNEF لوزی است و اندازه هر ضلع این لوزی، نصف طول قطر چهار ضلعی ABCD است :

محیط چهار ضلعی بوجود آمده MNEF :

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MN = EF = \frac{{AC}}{2}\\FM = EN = \frac{{BD}}{2}\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow MN + NE + EF + FM\\\\ = 2\left( {\frac{{AC}}{2} + \frac{{BD}}{2}} \right)\\\\ = AC + BD\end{array}\)