شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 اگر \(A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{\;3 \times 4}}\) ماتریسی 4×3 باشد به طوری که برای \(i=j\) داشته باشیم \({a_{ij}} = 7\) و برای i>j داشته باشیم \({a_{ij}} = i + j\) و برای i < j \(a_{ij} = i^2\) در این صورت ماتریس \(A\) را با درایه هایش مشخص کنید.
\(\begin{array}{*{20}{l}}{A = {{\left[ {{a_{ij}}} \right]}_{3 \times 4}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7\quad \quad \quad i = j}\\{i + j\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,i > j}\\{{i^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,i < j}\end{array}} \right.\quad }\\{}\\{ \Rightarrow \quad A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}7&1&1&1\\3&7&4&4\\4&5&7&9\end{array}} \right]}\end{array}\)
2 اگر \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y}&5\\z&1\end{array}} \right]\) و \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3&{2x + y}\\{ - 2}&1\end{array}} \right]\) و \(A=B\) در این صورت حاصل \((x+y+z)\) را بیابید.
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\underline {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}2x - y = 3\\\end{array}\\{2x + y = 5}\end{array}} \right.} }\\\begin{array}{l}\quad 4x = 8 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 1\\\end{array}\\\begin{array}{l}{\mkern 1mu} \;\;\; \Rightarrow z = - 2\\\end{array}\\{\;\;\;\; \Rightarrow x + y + z = 1}\end{array}\)
3 دو ماتریس 3×3 مانند \(A\) و \(B\) مثال بزنید که \(A \ne \overline O\) و \(B \ne \overline O\) ولی \(AB = \overline O\).
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&0\\4&6&0\\0&0&0\end{array}} \right] \ne \bar O}\\{}\\{B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&3&{ - 6}\\0&{ - 2}&4\\2&4&5\end{array}} \right] \ne \bar O}\end{array}} \right.\quad }\\{}\\{ \Rightarrow \quad A \times B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}} \right] = \bar O}\end{array}\)
4 با یک مثال نقض نشان دهید که قانون حذف در ضرب ماتریس ها برقرار نمی باشد به عبارت دیگر نشان دهید که در حالت کلّی از تساوی \(AB=AC\) نمی توان نتیجه گرفت \(B=C\).
مثال نقض اول :
\(\begin{array}{*{20}{l}}{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&4\end{array}} \right]}\\{}\\{B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\2&1\end{array}} \right]}\\{}\\{C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&8\\3&{ - 2}\end{array}} \right]}\\{}\\{ \Rightarrow \;\;\left\{ \begin{array}{l}AB = AC = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\6&8\end{array}} \right]\\\\B \ne C\end{array} \right.}\end{array}\)
مثال نقض دوم :
\(\begin{array}{*{20}{l}}{A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&1\\1&0&{ - 1}\\1&{ - 2}&{ - 3}\end{array}} \right]}\\{}\\{B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}&1\\0&1&0\\1&1&0\end{array}} \right]}\\{}\\{C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&1&2\\{ - 1}&{ - 1}&{ - 1}\\2&3&1\end{array}} \right]}\\{}\\{ \Rightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB = AC = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&2&1\\0&{ - 2}&1\\{ - 2}&{ - 6}&1\end{array}} \right]}\\{}\\{B \ne C}\end{array}} \right.}\end{array}\)
5 اگر \(A\) ماتریسی مربعی باشد و توان های \(A\) را به صورت \(A^2=AA\) و \(A^3=AA^2\) و ... و \(A^n=AA^{n-1} \left( {n \in N\;\;n > 1} \right)\) تعریف کنیم، در این صورت با فرض \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right]\) حاصل \(A^2\) و \(A^3\) و \(A^7\) را بیابید.
\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right]\\\\ \Rightarrow {A^2} = \\\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right] = I\\\\{A^3} = A.{A^2} = \\\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right] = A\\\\\left\{ \begin{array}{l}{A^7} = A^6 \cdot A = (A^2)^3 \cdot A = I^3 \cdot A = I \cdot A = A \\ \text{یا } \\ A = {A^3} = {A^5} = {A^7} = \cdots = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right]\\\\{A^2} = {A^4} = {A^6} = \cdots = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right] = I\end{array} \right.\end{array}\)
6 اگر \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&a\\b&{ - 1}\end{array}} \right]\) و \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\3&2\end{array}} \right]\) مقادیر \(a\) و \(b\) را طوری به دست آورید که حاصل ضرب \(A \times B\) ماتریسی قطری باشد.
\(\begin{array}{*{20}{l}}{A \times B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&a\\b&{ - 1}\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\3&2\end{array}} \right]}\\{}\\{ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 + 3a}&{ - 8 + 2a}\\{b - 3}&{ - 2b + 2}\end{array}} \right]}\\{}\\{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 8 + 2a = 0}\\{b - 3 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = 3}\end{array}} \right.}\end{array}\)
7 اگر \(A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{\;3 \times 2}}\) و \(B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{\;2 \times 3}}\) به صورت زیر معرفی شده باشند، ابتدا \(A\) و \(B\) را با درایه هایشان نوشته و سپس \(B \times A\) و \(A \times B\) را به دست آورید.
\(\begin{array}{l}{a_{ij}} = \left\{ \begin{array}{l}{i^2} - 1\;\;\;\;\;i = j\\i - j\;\;\;\;\;\;i > j\\j - i\;\;\;\;\;\;i < j\end{array} \right.\\\\{b_{ij}} = \left\{ \begin{array}{l}{i^2} + 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = j\\i + j\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i > j\\i - j + 2\;\;\;\;\;\;i < j\end{array} \right.\end{array}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&3\\2&1\end{array}} \right]\\\\B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&1&0\\2&5&1\end{array}} \right]\quad \end{array}\\{}\\{ \Rightarrow \;\;\left\{ \begin{array}{l}A \times B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&5&1\\8&{16}&3\\6&7&1\end{array}} \right]\\\\B \times A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&5\\7&{18}\end{array}} \right]\end{array} \right.}\end{array}\)
8 اگر \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{r_1}}&0&0\\0&{{r_2}}&0\\0&0&{{r_3}}\end{array}} \right]\) ماتریسی قطری باشد و \(B\) ماتریس 3×3 و دلخواه باشد در این صورت ماتریس \(A \times B\) را تشکیل دهید. چه نتیجه ای می گیرید؟ (توجه: در متن سوال \(B \times A\) خواسته شده اما در جواب \(A \times B\) محاسبه شده، ما \(A \times B\) را مطابق جواب پیش می رویم).
\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{r_1}}&0&0\\0&{{r_2}}&0\\0&0&{{r_3}}\end{array}} \right]\;\\\\B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\{{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}\end{array}} \right]\end{array}\\{}\\{ \Rightarrow \;\;A \times B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{r_1}{a_{11}}}&{{r_1}{a_{12}}}&{{r_1}{a_{13}}}\\{{r_2}{a_{21}}}&{{r_2}{a_{22}}}&{{r_2}{a_{23}}}\\{{r_3}{a_{31}}}&{{r_3}{a_{32}}}&{{r_3}{a_{33}}}\end{array}} \right]}\end{array}\)
نتیجه: اگر \(A\) ماتریسی قطری و \(B\) یک ماتریس مربعی هم مرتبه با \(A\) باشد. برای محاسبه \(A \times B\) کافی است درایه های قطر اصلی \(A\) را در درایه های سطرهای نظیر آن ها در ماتریس \(B\) ضرب کنیم. (یعنی هر سطر \(B\) در عنصر قطری متناظر از \(A\) ضرب می شود).
9 اگر \(A\) ماتریسی 3×3 و اسکالر باشد و \(B\) ماتریس هم مرتبۀ \(A\) در این صورت
الف برای \(B \times A\) و \(A \times B\) قوانینی تعریف کنید.
ب آیا تساوی \(A \times B = B \times A\) برقرار است؟
الف
اگر \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}&{{b_{12}}}&{{b_{13}}}\\{{b_{21}}}&{{b_{22}}}&{{b_{23}}}\\{{b_{31}}}&{{b_{32}}}&{{b_{33}}}\end{array}} \right]\) و \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}r&0&0\\0&r&0\\0&0&r\end{array}} \right]\)، آنگاه :
\(\begin{array}{*{20}{l}}{A \times B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{r{a_{11}}}&{r{a_{12}}}&{r{a_{13}}}\\{r{a_{21}}}&{r{a_{22}}}&{r{a_{23}}}\\{r{a_{31}}}&{r{a_{32}}}&{r{a_{33}}}\end{array}} \right] = rB}\\{}\\{B \times A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{r{a_{11}}}&{r{a_{12}}}&{r{a_{13}}}\\{r{a_{21}}}&{r{a_{22}}}&{r{a_{23}}}\\{r{a_{31}}}&{r{a_{32}}}&{r{a_{33}}}\end{array}} \right] = rB}\\{}\\{ \Rightarrow A \times B = B \times A = rB}\end{array}\)
ب
بله؛ این تساوی همواره برقرار است.
10 اگر \(A\) و \(B\) ماتریس های 3×3 و تعویض پذیر باشند (\(A \times B = B \times A\)) ثابت کنید.
الف \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
ب \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\)
الف
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{(A + B)}^2} = (A + B)(A + B) = }\\{}\\{(A + B)A + (A + B)B = }\\{}\\{{A^2} + BA + AB + {B^2}\; = }\\{}\\{{A^2} + AB + AB + {B^2} = }\\{}\\{{A^2} + 2AB + {B^2}}\end{array}\)
ب
\(\begin{array}{*{20}{l}}{(A + B)(A - B) = }\\{}\\{(A + B)A - (A + B)B = }\\{}\\{{A^2} + BA - AB - {B^2} = }\\{}\\{{A^2} + AB - AB - {B^2} = }\\{}\\{{A^2} - {B^2}}\end{array}\)
11 اگر \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0&0\\0&3&0\\0&0&4\end{array}} \right]\) مفروض باشد. حاصل \(A^3\) را به دست آورید. چه نتیجه ای می گیرید؟
\(\begin{array}{l}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0&0\\0&3&0\\0&0&4\end{array}} \right]\\\\{A^2} = A \times A = \\\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0&0\\0&3&0\\0&0&4\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0&0\\0&3&0\\0&0&4\end{array}} \right] = \\\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&0&0\\0&9&0\\0&0&{16}\end{array}} \right]\\\\ \Rightarrow {A^3} = A \times A \times A = \\\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&0&0\\0&9&0\\0&0&{16}\end{array}} \right] \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0&0\\0&3&0\\0&0&4\end{array}} \right] = \\\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 8}&0&0\\0&{27}&0\\0&0&{64}\end{array}} \right]\end{array}\)
نتیجه می گیریم که اگر \(A\) یک ماتریس قطری باشد، توان \(k\) ام آن (\(A^k\)) نیز یک ماتریس قطری است که هر یک از درایه های قطر اصلی آن برابر توان \(k\) ام درایه متناظر در ماتریس \(A\) است.
\(\begin{array}{l}A = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&0& \cdots &0\\0&{{a_{22}}}& \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0&0& \cdots &{{a_{nn}}}\end{array}} \right]_{n \times n}}\quad \\\\\mathop \Rightarrow \limits^{k \in \mathbb{N}} \;\;\;{A^k} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}^k}&0& \cdots &0\\0&{{a_{22}}^k}& \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0&0& \cdots &{{a_{nn}}^k}\end{array}} \right]_{n \times n}}\end{array}\)
1736019749.png)
