شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
دستگاه معادلات \( \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 3\\ - 4x + 6y = 1\end{array} \right.\) را در نظر بگیرید.
1 هریک از معادلات دستگاه معادلهٔ یک خط در صفحه است. شیب هریک از این دو خط را معلوم کنید. چه نتیجه ای می گیرید؟ آیا این دو خط بر هم منطبق هستند؟
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}L:2x - 3y = 3 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x - 1\\\end{array}\\{ \Rightarrow m = \frac{2}{3}\quad ,\quad h = - 1}\\{}\\\begin{array}{l}L': - 4x + 6y = 1 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{6}\\\end{array}\\{ \Rightarrow m' = \frac{2}{3}\quad ,\quad h' = \frac{1}{6}}\end{array}} \right.}\\{}\\{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = m'\\\end{array}\\{h \ne h'}\end{array}} \right. \Rightarrow L\parallel L'}\end{array}\)
پس دو خط موازی اند و بر هم منطبق نیستند؛ زیرا عرض از مبدأهای آن ها مساوی نیست.
2 ماتریس ضرایب دستگاه را تشکیل دهید، آیا این ماتریس وارون پذیر است؟ چرا؟
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 3\\\\ - 4x + 6y = 1\end{array} \right.\\\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}\\{ - 4}&6\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3\\1\end{array}} \right]\\\\ \Rightarrow A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}\\{ - 4}&6\end{array}} \right]\\\\ \Rightarrow \left| A \right| = 2 \times 6 - \left( { - 3} \right) \times \left( { - 4} \right) = 0\\\end{array}\)
خیر؛ ماتریس A وارون پذیر نیست؛ بنابراین این دستگاه جواب ندارد.
3 سؤال های 1 و 2 را در مورد دستگاه \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 2\\ - 3x + 9y = - 6\end{array} \right.\)پاسخ داده و اگر A ماتریس ضرایب یک دستگاه باشد و |A|=0 برای تعداد جواب های آن دستگاه دو حالت نتیجه بگیرید.
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}L:x - 3y = 2 \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\\\end{array}\\{ \Rightarrow m = \frac{1}{3}\quad ,\quad h = \frac{2}{3}}\\{}\\\begin{array}{l}L': - 3x + 9y = - 6 \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\\\end{array}\\{ \Rightarrow m' = \frac{2}{3}\quad ,\quad h' = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.}\\{}\\{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = m'\\\end{array}\\{h = h'}\end{array}} \right. \Rightarrow L = L'}\end{array}\)
پس دو خط بر هم منطبق هستند؛ زیرا عرض از مبدأهای آن ها مساوی است.
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 2\\ - 3x + 9y = - 6\end{array} \right.\\\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\{ - 3}&9\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 6}\end{array}} \right]\\\\ \Rightarrow A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\{ - 3}&9\end{array}} \right]\\\\ \Rightarrow \left| A \right| = 1 \times 9 - \left( { - 3} \right) \times \left( { - 3} \right) = 0\end{array}\)
ماتریس A وارون پذیر نیست؛ اما دستگاه بی نهایت جواب ندارد.
نتیجه : اگر \(\left| A \right| = 0\) و عرض از مبدأهای دو معادله مساوی باشند، دستگاه دو معادله دو مجهولی بیشمار جواب دارد و اگر \(\left| A \right| = 0\) و عرض از مبدأهای دو معادله مساوی نباشند، دستگاه دو معادله دو مجهولی هیچ جوابی ندارد.
1736019749.png)
