جواب فعالیت صفحه 24 درس 1 هندسه دوازدهم (ماتریس و کاربردها)

دستگاه \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y = 4}\\{7x + 4y = 15}\end{array}} \right.\) . را در نظر بگیرید. می توان از ماتریس ها کمک گرفت و دستگاه را به صورت یک تساوی ماتریسی نوشت:

\(\left[ \begin{array}{l}...\; + \;...\\7x + 4y\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}4\\...\end{array} \right]\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\)

از طرفی با توجه به تعریف ضرب ماتریس ها داریم:

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}2x + y\\7x + 4y\end{array} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\7&4\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right]\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\\\\\left( 1 \right)\;,\;\left( 2 \right)\; \Rightarrow \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\7&4\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}4\\15\end{array} \right]\end{array}\)

معادلهٔ ماتریسی اخیر معادل با دستگاه دو معادله و دو مجهولِ مفروض است.

1 حال اگر فرض کنیم \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\7&4\end{array}} \right]\) (A را ماتریس ضرایب می نامیم) در این صورت ابتدا نشان دهید ماتریس A وارون دارد (وارون پذیر است و سپس A^-1 را بیابید.

\(\left| A \right| = \ldots - \ldots = 1 \ne 0 \Rightarrow\) وارون پذیر است A

\(\Rightarrow \;{A^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| A \right|}} \times \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\{ - 7}&2\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\{ - 7}&2\end{array}} \right]\)

2 معادلهٔ ماتریسی معادل با دستگاه را از سمت چپ در A^-1 ضرب کنید و با توجه به تعریف تساوی بین دو ماتریس، جواب دستگاه یعنی x و y را بیابید.

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\{ - 7}&2\end{array}} \right]\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\7&4\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right]} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\{ - 7}&2\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}4\\15\end{array} \right]\)

شرکت پذیری   \(\Rightarrow \;\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\{ - 7}&2\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\7&4\end{array}} \right]} \right)\left[ \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}1\\2\end{array} \right]\)

\(\Rightarrow \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}1\\2\end{array} \right]\; \Rightarrow \;\left[ \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}1\\2\end{array} \right]\; \Rightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}x = ...\\y = ...\end{array} \right.\)