جواب کار در کلاس صفحه 14 درس 1 ریاضی و آمار دهم انسانی (معادلۀ درجۀ دوم)

الف

اگر سن نیما برابر x باشد، طبق فرض مسئله سن کیان برابر x-3 است.

\(x\,{\rm{ \times }}\,(x - 3) = 40\)

ب

بله. این معادله از درجه 2 است.

پ

\(\begin{array}{l}x\,{\rm{ \times }}\,(x - 3) = 40 \Rightarrow {x^2} - 3x - 40 = 0\\\\ \Rightarrow \Delta = {b^2} - 4ac = {( - 3)^2} - 4(1)( - 40) = 9 + 160 = 169\\\\x = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 \pm \sqrt {169} }}{2} = \frac{{3 \pm 13}}{2}\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 8\\\\{x_2} = - 5\end{array} \right.\end{array}\)

این معادله دو جواب دارد؛ عدد منفی هم در معادله صدق می کند ولی در جواب این سوال معنی ندارد، زیرا که سن نمی تواند عددی منفی باشد.

توضیح تکمیلی

برای حل این مسئله، ابتدا فرض می‌کنیم که سن نیما x سال است. از آنجایی که نیما سه سال از کیان بزرگ‌تر است، سن کیان برابر است با  x-3 .

معادله‌ای که داریم به این صورت است: \(x\,{\rm{ \times }}\,(x - 3) = 40\)

این معادله یک معادله درجه دوم است که باید با روش‌های معمول مثل فاکتورگیری یا استفاده از فرمول درجه دوم حل کنیم. برای حل آن، معادله به شکل استاندارد زیر می‌شود:

\({x^2} - 3x - 40 = 0\)

برای حل معادله، می‌توانیم از فرمول درجه دوم استفاده کنیم:

\(x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\)

که در اینجا  a = 1، b = -3 و c = -40 می‌باشد. بنابراین:

\(x = \frac{{3 \pm \sqrt {9 + 160} }}{2} = \frac{{3 \pm \sqrt {169} }}{2} = \frac{{3 \pm 13}}{2}\)

دو جواب داریم:

\(\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{16}}{2} = 8\\\\{x_2} = \frac{{ - 10}}{2} = - 5\end{array}\)

از آنجایی که سن نمی‌تواند عدد منفی باشد، جواب معقول x = 8 است. بنابراین، سن نیما ۸ سال و سن کیان ۵ سال است.