شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1- به الگوی روبه رو توجه کنید.
الف) شکل بعدی را رسم کنید و تعداد کاشی های تیرهٔ آن را مشخص کنید.
ب) تعداد کاشی های تیره در هر مرحله را به صورت یک دنباله تا جملهٔ هفتم آن بنویسید.
\(6\,,\,8\,,\,10\,,\,12\,,\,14\,,\,16\,,\,18\)
پ) اگر n تعدادکاشی های سفید و \({t_n}\) تعداد کاشی های تیره باشد، مقدار \({t_n}\) را بر حسب n بنویسید.
\(\left. \begin{array}{l}{t_n} = an + b\\\\a = {t_2} - {t_1} = 8 - 6 = 2\\\\b = {t_1} - a(1) = 6 - 2 = 4\end{array} \right\} \Rightarrow {t_n} = 2n + 4\)
ت) برای 100 کاشی سفید، چند کاشی تیره لازم است؟
\({t_{100}} = 2(100) + 4 = 204\)
ث) آیا در این الگو شکلی وجود دارد که شامل 50 کاشی تیره باشد؟ اگر هست، تعداد کاشی های سفید آن چندتاست؟
بله؛ تعداد کاشی های سفید مورد نیاز برابر است با:
\({t_m} = 50 \Rightarrow 2m + 4 = 50 \Rightarrow m = 23\)
2- الگوی زیر را درنظر بگیرید.
الف) شکل بعدی را رسم کنید، سپس تعداد نقاط هر مرحله را به صورت یک دنباله تا جملهٔ ششم آن بنویسید.
\(1\,,\,6\,,\,15\,,\,28\,,\,45\,,\,66\)
ب) جملهٔ عمومی الگو را بیابید.
\({t_n} = {n^2} + 2(\frac{{(n - 1)n}}{2}) = 2{n^2} - n\)
پ) شکل دهم در این الگو چند نقطه دارد؟
\(n = 10 \Rightarrow {t_{10}} = 2{(10)^2} - 10 = 190\)
3- جملهٔ عمومی چند دنباله داده شده است. در هر مورد چهار جملهٔ اول دنباله را بنویسید و سپس به هر یک از آنها یک الگوی هندسی نظیر کنید.
الف) \({a_n} = 4n\)
ب) \({b_n} = 3n + 1\)
پ) \({c_n} = {n^2} + 2\)
ت) \({d_n} = {n^2} + n\)
4- برای هریک از دنباله های درجهٔ دو زیر جملهٔ عمومی را به دست آورید و سپس برای هرکدام، یک الگوی هندسی نظیر کنید.
\(5\,,\,8\,,\,13\,,\,20\,,\,29\,,\, \ldots \) (الف
\(\left. \begin{array}{l}{t_n} = a{n^2} + bn + c\\\\{t_1} = 5 = a + b + c\\\\{t_2} = 8 = 4a + 2b + c\\\\{t_3} = 13 = 9a + 3b + c\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\\\b = 0\\\\c = 4\end{array} \right. \Rightarrow {t_n} = {n^2} + 4\)
\(5\,,\,12\,,\,22\,,\,35\,,\,51\,,\, \ldots \) (ب
\(\left. \begin{array}{l}{t_n} = a{n^2} + bn + c\\\\{t_1} = 5 = a + b + c\\\\{t_2} = 12 = 4a + 2b + c\\\\{t_3} = 22 = 9a + 3b + c\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\\\b = \frac{5}{2}\\\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow {t_n} = \frac{3}{2}{n^2} + \frac{5}{2}n + 1\)
1736019749.png)
