شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1- از بین موارد زیر، دنباله های هندسی را مشخص کنید و قدر نسبت آنها را بنویسید.
\(7\,,\,28\,,\,112\,,\,448\,,\, \ldots \) (الف
\(\frac{{28}}{7} = \frac{{112}}{{28}} = \frac{{448}}{{112}} = 4 = r\)
دنباله هندسی
\(2\sqrt 5 \,,\,4\sqrt 5 \,,\,6\sqrt 5 \,,\,8\sqrt 5 \,,\, \ldots \) (ب
\(\frac{{4\sqrt 5 }}{{2\sqrt 5 }} \ne \frac{{6\sqrt 5 }}{{4\sqrt 5 }}\)
دنباله هندسی نمی باشد.
\(1\,,\,\frac{{ - 1}}{2}\,,\,\frac{1}{4}\,,\,\frac{{ - 1}}{8}\,,\, \ldots \) (پ
\(\frac{{\frac{{ - 1}}{2}}}{1} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{{ - 1}}{2}}} = \frac{{\frac{{ - 1}}{8}}}{{\frac{1}{4}}} = - \frac{1}{2} = r\)
دنباله هندسی
\(5\,,\,5\,,\,5\,,\,5\,,\, \ldots \) (ت
\(\frac{5}{5} = 1 = r\)
دنباله هندسی
2- چند دنبالهٔ هندسی با قدر نسبت \(\frac{4}{5}\) می توان ساخت؟ دو مورد را بنویسید.
بی شمار دنباله هندسی می توان ساخت:
\(\begin{array}{l}1){t_n} = {(\frac{4}{5})^{n - 1}} \Rightarrow 1\,,\,\frac{4}{5}\,,\,\frac{{16}}{{25}}\,,\,\frac{{64}}{{125}}\,,\, \cdots \\\\2){t_n} = 2{(\frac{4}{5})^{n - 1}} \Rightarrow 2\,,\,\frac{8}{5}\,,\,\frac{{32}}{{25}}\,,\,\frac{{128}}{{125}}\,,\, \cdots \end{array}\)
3- درستی یا نادرستی جملات زیر را بررسی کنید. در صورت درست بودن توضیح دهید و در صورت نادرست بودن مثال نقض ارائه کنید.
الف) هر دنباله، یا حسابی است یا هندسی.
نادرست:
\({t_n} = {n^2} \Rightarrow 1\,,\,4\,,\,9\,,\,16\,,\, \cdots \)
ب) دنباله ای وجود ندارد که هم حسابی باشد و هم هندسی.
نادرست:
\({t_n} = 5 \Rightarrow 5\,,\,5\,,\,5\,,\,5\,,\, \cdots \)
\({t_n}\) هنگامی که قدر نسبت آن \(d = 0\) باشد، دنباله حسابی را تشکیل می دهد و هنگامی که قدر نسبت آن \(r = 1\) باشد، دنباله هندسی را تشکیل می دهد.
4- علی دوچرخه ای را به قیمت 500 هزار تومان خرید. فرض کنید قیمت دوچرخهٔ دست دوم، در هر سال 20 درصد نسبت به سال قبل از خودش کاهش یابد.
الف) اگر او بعد از 3 سال قصد فروش دوچرخه اش را داشته باشد، به چه قیمتی می تواند آن را بفروشد؟
تومان \( = 500,000 \times {(1 - 0/2)^3} = 256,000\) قیمت فروش
ب) قیمت دوچرخه بعد از گذشت n سال از چه رابطه ای به دست می آید؟
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 500,000\\\\r = 1 - 0/2 = 0/8\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow {t_n} = {t_1}{r^{n - 1}} = 500,000{(0/8)^{n - 1}}\end{array}\)
5- حاصل ضرب بیست جملهٔ اول دنبالهٔ هندسی مقابل را محاسبه کنید.
\(2\,,\,4\,,\,8\,,\, \ldots \)
\(\begin{array}{l}2\,,\,4\,,\,8\,,\, \ldots \\\\\left. \begin{array}{l}{t_1} = 2\\\\r = \frac{{{t_2}}}{{{t_1}}} = \frac{4}{2} = 2\end{array} \right\} \Rightarrow {t_n} = {t_1}{r^{n - 1}} = 2 \times {2^{n - 1}} = {2^n}\\\\ \Rightarrow {t_1} \times {t_2} \times {t_3} \times \cdots \times {t_{20}} = {2^1} \times {2^2} \times {2^3} \times \cdots \times {2^{20}} = \\\\{2^{1 + 2 + 3 + \cdots + 20}} = {2^{\frac{{20(20 + 1)}}{2}}} = {2^{210}}\end{array}\)
6- جملات سوم و ششم یک دنبالهٔ هندسی به ترتیب 12 و 96 می باشند. دنباله را مشخص کنید.
\(\begin{array}{l}{t_n} = {t_1}{r^{n - 1}}\\\\\left. \begin{array}{l}{t_3} = {t_1}{r^2} = 12\\\\{t_6} = {t_1}{r^5} = 96\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{{t_6}}}{{{t_3}}} = \frac{{{t_1}{r^5}}}{{{t_1}{r^2}}} = {r^3} = 8 \Rightarrow r = 2\\\\{t_3} = {t_1}{r^2} = 12 = {t_1}{(2)^2} = 4{t_1} \Rightarrow {t_1} = 3\\\\ \Rightarrow {t_n} = 3{(2)^{n - 1}}\end{array}\)
7- بنا بر آمار منتشر شده از جانب پزشکی قانونی کشور، آمار تلفات جاده ای از عدد 27759 نفر در سال 1384 به عدد 16778 نفر در سال 1400 کاهش یافته است که نشان دهندهٔ حدود 3 درصد کاهش سالانه در این دهه است. اگر آمار حوادث رانندگی در کشور با همین سرعت کاهش یابد،
الف) پیش بینی می شود در هر یک از سال های منتهی به سال 1405 چند نفر از هم وطن های ما جان خود را در حوادث رانندگی از دست بدهند؟ نتایج را در جدول زیر ثبت کنید.
ب) اعداد حاصل، چه نوع دنباله ای تشکیل می دهند؟
اعداد حاصل، دنباله هندسی با قدر نسبت \(r = 0/97\) تشکیل می دهند:
\(r = 1 - 0/03 = 0/97\)
1736019749.png)
