جواب تمرین صفحه 21 درس 1 حسابان دوازدهم (تابع)

الف

ب

تابع f یک تابع یک به یک است؛ در نتیجه :

پ

\(\begin{array}{l}f(x) = y = {(x - 2)^3} + 1 \Rightarrow y - 1 = {(x - 2)^3} \Rightarrow x - 2 = \sqrt[3]{{y - 1}} \Rightarrow x = \sqrt[3]{{y - 1}} + 2\\ \Rightarrow y = \sqrt[3]{{x - 1}} + 2\\ \Rightarrow {f^{ - 1}}(x) = \sqrt[3]{{x - 1}} + 2\end{array}\)

الف

تابع f در بازه های \(\left( { - \infty \;,\;3} \right]\) و\(\left[ {0,\;\infty } \right)\)  اکیداً صعودی و در تمام نقاط صعودی است.

ب

تابع g در بازه های [-2,0] اکیداً نزولی و در بازه های \(\left( { - \infty \;,\; - 2} \right]\) و \(\left[ {2,\;\infty } \right)\) نزولی است.

پ

تابع g در بازه های [-2,0] اکیداً نزولی و در بازه های \(\left( { - \infty \;,\; - 2} \right]\) و \(\left[ {2,\;\infty } \right)\) نزولی است.

الف

ب

پ

همه اکیداً یکنوا هستند.

الف

بله؛ مثال :

تابع ثابت f(x)=2 در فاصله [-2,3] هم صعودی است و هم نزولی.

ب

تابع f روی فاصله I اکیدا صعودی است؛ بنابراین :

\(\forall \;a\;,\;b \in I\quad ,\quad a < b\quad \Rightarrow f(a) < f(b)\)

تابع g روی فاصله I اکیدا صعودی است؛ بنابراین :

\(\forall \;a\;,\;b \in I\quad ,\quad a < b\quad \Rightarrow g(a) < g(b)\)

داریم:

\( \Rightarrow f(a) + g(a) < f(b) + g(b) \Rightarrow \forall \;a\;,\;b \in I\quad ,\quad a < b\quad :\quad (f + g)(a) < (f + g)(b)\)

در نتیجه تابع f + g روی فاصله I اکیدا صعودی است.

برای تابع f - g  داریم :

نمی توان گفت همواره تابع f - g نیز اکیداً صعودی است. مثال نقض :

توابع \(f(x) = 2x + 4\) و \(g(x) = 5x + 4\) روی دامنه خود اکیداً صعودی هستند ولی :

\((f - g)(x) = (2x + 4) - (5x + 4) = - 3x\)

که یک تابع اکیداً نزولی می باشد.

\(\left. \begin{array}{l}f(x) = {x^3} + k{x^2} + 2\\p(x) = x - 2\\r(x) = 6\end{array} \right\} \Rightarrow p(x) = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow r(x) = f(2) \Rightarrow 6 = 4k + 10 \Rightarrow k = - 1\)

\(\left. \begin{array}{l}f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + 1\\x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow f(2) = 0\\x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \Rightarrow f( - 1) = 0\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + 2b = - 9}\\{a - b = 0\quad \;\;}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1/5}\\{b = - 1/5}\end{array}} \right.\)

 الف

\({x^6} - 1 = {x^6} - {1^6} = (x - 1)({x^5} + {x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1)\)

ب

\({x^6} - 1 = {x^6} - {1^6} = (x + 1)({x^5} - {x^4} + {x^3} - {x^2} + x - 1)\)

پ

\({x^5} + 32 = {x^5} + {2^5} = (x + 2)({x^4} - 2{x^3} + 4{x^2} - 8x + 16)\)

 الف

اثبات (برهان خلف):

فرض کنید a بزرگتر مساوی b نیست؛ بنابراین a<b می باشد؛ از طرفی چون f  روی فاصله مذکور اکیداً نزولی است، بنابراین برای هر a و b عضو این فاصله a<b نتیجه می شود \(f(a) > f(b)\) و این خلاف فرض \(f(a) \le f(b)\) موجود در صورت سوال می باشد. از این تناقض نتیجه می شود فرض برهان خلف باطل است و \(a \ge b\) می باشد.

ب

\(\begin{array}{l}{(\frac{1}{2})^{3x - 2}} \le \frac{1}{{64}} \Rightarrow {(\frac{1}{2})^{3x - 2}} \le {(\frac{1}{2})^6} \Rightarrow {(2)^{ - (3x - 2)}} \le {(2)^{ - 6}} \Rightarrow - (3x - 2) \le - 6\\ \Rightarrow 3x - 2 \ge 6 \Rightarrow x \ge \frac{8}{3}\end{array}\)