شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 در اتحاد بالا، اگر n فرد باشد، با تغییر a به –a اتحاد زیر را نتیجه بگیرید.
\({x^n} + {a^n} = \left( {x - a} \right)\left( {{x^{n - 1}} - a{x^{n - 2}} + {a^2}{x^{n - 3}} - \;...\; - {a^{n - 2}}x + {a^{n - 1}}} \right)\)
به کمک این اتحاد، چند جمله ای \({x^5} + 1\) را تجزیه کنید.
\(\begin{array}{l}{x^n} - {a^n} = (x - a)({x^{n - 1}} + a{x^{n - 2}} + {a^2}{x^{n - 3}} + \cdots + {a^{n - 2}}x + {a^{n - 1}})\\{x^n} - {( - a)^n} = (x - ( - a))({x^{n - 1}} + ( - a){x^{n - 2}} + {( - a)^2}{x^{n - 3}} + \cdots + {( - a)^{n - 2}}x + {( - a)^{n - 1}})\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array}\,\,\,\, \Rightarrow {x^n} + {a^n} = (x + a)({x^{n - 1}} - a{x^{n - 2}} + {a^2}{x^{n - 3}} + \cdots - {a^{n - 2}}x + {a^{n - 1}})\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array}\mathop {}\nolimits^{} {x^5} + 1 = (x + 1)({x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1)\end{array}\)
2 در فعالیت بالا، اگر n زوج باشد، با تغییر a به –a اتحاد زیر را نتیجه بگیرید.
\({x^n} - {a^n} = \left( {x + a} \right)\left( {{x^{n - 1}} - a{x^{n - 2}} + {a^2}{x^{n - 3}} - \;...\; + {a^{n - 2}}x - {a^{n - 1}}} \right)\)
به کمک این اتحاد، چند جمله ای \({x^4} - 16\) را طوری تجزیه کنید که x+2 یک عامل آن باشد.
\(\begin{array}{l}{x^n} - {a^n} = (x - a)({x^{n - 1}} + a{x^{n - 2}} + {a^2}{x^{n - 3}} + \cdots + {a^{n - 2}}x + {a^{n - 1}})\\{x^n} - {( - a)^n} = (x - ( - a))({x^{n - 1}} + ( - a){x^{n - 2}} + {( - a)^2}{x^{n - 3}} + \cdots + {( - a)^{n - 2}}x + {( - a)^{n - 1}})\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array}\,\,\,\, \Rightarrow {x^n} - {a^n} = (x + a)({x^{n - 1}} - a{x^{n - 2}} + {a^2}{x^{n - 3}} + \cdots + {a^{n - 2}}x - {a^{n - 1}})\\{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array}^{}}{x^4} - 16 = {x^4} - {2^4} = (x + 2)({x^3} - 2{x^2} + 4x + 8) = (x + 2)(x - 2)({x^2} + 4)\end{array}\)
1736019749.png)
