شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 نمودار توابع زیر را رسم کنید.
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^2} + 2x\\g\left( x \right) = {2^{ - x}}\\h\left( x \right) = \left| {x + 2} \right|\end{array}\)
الف در چه بازه هایی این توابع، اکیداً صعودی و در چه بازه هایی اکیداً نزولی هستند؟
ب کدام یک از آنها در تمام دامنه خود، اکیداً یکنوا است؟
الف
تابع f در بازه \(\left( { - \infty \;,\; - 1} \right]\)اکیدا نزولی و در بازه \(\left[ { - 1\;,\; + \infty } \right)\)اکیدا صعودی است.
تابع g در بازه \(\mathbb{R} = \left( { - \infty \;,\; + \infty } \right)\)اکیدا نزولی است.
تابع h در بازه \(\left( { - \infty \;,\; - 2} \right]\)اکیدا نزولی و در بازه \(\left[ { - 2\;,\; + \infty } \right)\)اکیدا صعودی می باشد.
ب تابع g اکیداً یکنوا است.
2 نمودار تابع \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\;\;\;\;\;\;x \ge - 1\\x\;\;\;\;\;\;\;x < - 1\end{array} \right.\)را رسم کنید. در چه فاصله هایی این تابع صعودی و در چه فاصله هایی نزولی است؟
تابع f در بازه \(\left( { - \infty \;,\; - 1} \right)\)و \(\left[ {0\;,\; + \infty } \right)\)صعودی و در بازه \(\left( { - \infty \;,\;0} \right]\)نزولی است.
3
الف اگر تابع f در یک فاصله اکیداً صعودی باشد، آیا صعودی نیز هست؟ چرا؟
ب اگر تابع f در یک فاصله صعودی باشد، آیا اکیداً صعودی نیز خواهد بود؟ مثال بزنید.
الف بله؛ چون اگر تابع f در یک فاصله اکیداً صعودی باشد، آنگاه برای هر b و a در آن فاصله که a<b، آنگاهf(a)<f(b) .
واضح است از f(a)<f(b) می توان نتیجه گرفت \(f(a) \le f(b)\) ؛ بنابراین تابع f صعودی است.
ب خیر؛ طبق نمودار تابع f یک تابع صعودی روی دامنه خود می باشد، ولی اکیداً صعودی نیست:
4
الف فرض کنید تابع f در یک فاصله اکیداً صعودی باشد و a و b متعلق به این فاصله باشند. اگر f(a)≤f(b) نشان دهید که a≤b.
ب اگر\(\log \left( {x + 1} \right) \le \log \left( {2x - 3} \right)\) ، حدود x را به دست آورید.
الف اثبات (برهان خلف):
فرض کنید a کوچکتر مساوی b نیست، بنابراین \(b < a\) و چون f روی فاصله مذکور اکیداً صعودی است، پس طبق تعریف تابع اکیداً صعودی می توان نوشت :\(f(b) < f(a)\) که در این خلاف فرض صورت سوال یعنی\(f(b) \le f(a)\) می باشد، بنابراین فرض خلف باطل است و\(a{ \le }b\) .
ب می دانیم تابع لگاریتم با پایه 10 یک تابع اکیداً صعودی می باشد، بنابراین به کمک قسمت الف می توان نوشت :
\(\log (x + 1) \le \log (2x - 3)x + 1 \le 2x - 3 \Rightarrow - x \le - 4 \Rightarrow x \ge 4 \to x \in \left[ {4\;,\; + \infty } \right)\)
1736019749.png)
