حل مسائل بهینه سازی

\(\begin{array}{l}x.y = 64 \to y = \frac{{64}}{x} \to s = x + y = x + \frac{{64}}{x}\\\\s(x) = x + \frac{{64}}{x} \to s'(x) = 1 + \frac{{ - 64}}{{{x^2}}}1 - \frac{{64}}{{{x^2}}} = 0 \to {x^2} = 0 \to x = \pm 8\end{array}\)

با توجه به صورت مسئله فقط مقدار ۸ = x قابل قبول است. پس  \(y = \frac{{64}}{8} = 8\)لذا :

\(\min (s) = x + y = 8 + 8 = 16\)

 با توجه به مسئله کافی است که معادله ی حجم مکعب تشکیل شده را دهیم.

 \(v(x) = x{(30 - 2x)^2}\)حجم مکعب

\(\begin{array}{l} \to v(x) = x(900 - 120x + 4{x^2}) = 900x - 120{x^2} + 4{x^3};0 < x > 15\\\\ \to v'(x) = 900 - 240x + 12{x^2}\\\\900 - 240x + 12{x^2} = 075 - 20x + {x^2} = 0\\\\ \to {x^2} + 20x + 75 = 0 \to (x - 5)(x - 15) = 0 \to x = 5,x = 15\end{array}\)

و چون ۱۵ = x خارج از دامنه ی اعتباری تابع است این جواب قابل قبول نیست. لذا

‏ \(\max (v) = v(5) = 5{(30 - 2(5))^2} = 5{(30 - 10)^2} = 5(400) = 2000c{m^3}\)

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {(4)^2} \to y = \sqrt {16 - {x^2}} \\\\s = x.y \to s(x) = x\sqrt {16 - {x^2}} \\\\s'(x) = x\sqrt {16 - {x^2}} + \frac{{ - {x^2}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \frac{{16 - 2{x^2}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}]\\\\16 - 2{x^2} = 0 \to x = \pm \sqrt 8 \end{array}\)

با توجه به صورت مسئله واضح است که فقط جواب \(x = \sqrt 8 \)قابل قبول است. =8(Max(S‏

قرار میدهیم AO=rپس OH=AH-OA=h-5 لذا در مثلث OBH می توان نوشت :

\(\begin{array}{l}O{H^2} + B{H^2} = O{B^2} + \to {(h - 5)^2} + {r^2} = 25\\\\{r^2} = 10h - {h^2}\\\\v = \frac{1}{3}\pi {r^2}h \to v(h) = \frac{1}{3}\pi (10h - {h^2})h = \frac{1}{3}\pi (10{h^2} - {h^3})\\\\ \to v'(h) = \frac{1}{3}\pi (20h - 3{h^2})\frac{1}{3}\pi (20h - 3{h^2}) = 0\\\\ \to h = 0,h = \frac{{20}}{3}\\\\ \to \max (v) = \frac{1}{3}\pi (10{(\frac{{20}}{3})^2} - {(\frac{{20}}{3})^3}) = \frac{{400\pi }}{{81}}\end{array}\)

 فرض کنیم که نقطه ی  \(A\left( {\alpha ,\beta } \right)\) نزدیکترین نقطه ی منحنی  \({y^2} = 4x\)از نقطه ی (,0۴)M باشد.

پس :

\(\begin{array}{l}{\beta ^2} = 4\alpha \\\\d = \sqrt {{{(4 - \alpha )}^2} + {{(\beta - 0)}^2}} = \sqrt {{\alpha ^2} - 8a + 16 + {\beta ^2}} \\\\ \to d(\alpha ) = \sqrt {{\alpha ^2} - 8a + 16 + 4a} = \sqrt {{\alpha ^2} - 4a + 16} \\\\d'(\alpha ) = \frac{{2\alpha - 4}}{{2\sqrt {{\alpha ^2} - 4a + 16} }} = \frac{{\alpha - 2}}{{\sqrt {{\alpha ^2} - 4a + 16} }} \to \alpha - 2 = 0 \to \alpha = 2\\\\\min (d) = \sqrt {{{(2)}^2} - 4(2) + 16} = \sqrt {12} \end{array}\)

 فرض کنیم که استوانه ی مورد نظر دارای شعاع قاعده ی r و ارتفاع hباشد. اگر oمرکز کره باشد در مثلث قائم الزاویه ی OAB می توان نوشت:

\(OB = \frac{h}{2}\)

‏\(A{B^2} + O{B^2} = O{A^2} \to {r^2} + {(\frac{h}{2})^2} = {R^2} \to {r^2} = {R^2} - {\frac{h}{2}^2}\)

 لذا حجم استوانه ی ایجاد شده به شکل زیر است.

 باید مساحت کل استوانه کمترین مقدار ممکن گردد.

چون قرار است حجم استوانه یک لیتر باشد. پس :

\(v = \pi {r^2}h\pi {r^2}h = 1000 \to h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}}\)

‏ از طرفی مساحت کل استوانه برابر مجموع، مساحت قاعده و سطح جانبی آن است. لذا:

\(\begin{array}{l}s(r) = \pi {r^2} + 2\pi rh \to s(r) = \pi {r^2} + 2\pi r(\frac{{1000}}{{\pi {r^2}}}) = s(r) = \pi {r^2}\frac{{2000}}{r}\\\\s'(r) = 2\pi r + \frac{{ - 2000}}{{{r^2}}} = \frac{{2\pi {r^3} - 2000}}{{{r^2}}}\frac{{2\pi {r^3} - 2000}}{{{r^2}}} = 0\\\\ \to 2\pi {r^3} - 2000 = 0 \to {r^3} = \frac{{1000}}{\pi } \to r = {10^3}\sqrt {\frac{1}{\pi }} \\\\s({10^3}\sqrt {\frac{1}{\pi }} ) = \pi {({10^3}\sqrt {\frac{1}{\pi }} )^2} + {200^3}\sqrt \pi \end{array}\)

 کافی است بیشترین مساحت پنجره را بدست آوریم این مساحت برابر مجموع مساحت های نیم دایره و مستطیل است.

 \(\begin{array}{l}p = x + 2h + \frac{1}{2}(2\pi r) = 2r + 2h + \pi r\\\\2r + 2h + \pi r = \frac{9}{2} \to h = \frac{9}{4} - r - \frac{1}{2}\pi r\end{array}\)محیط پنجره

مساحت پنجره

\(\begin{array}{l}p = sx + \frac{1}{2}\pi {r^2}\\\\ \to s(r) = (2r)(\frac{9}{4} - r - \frac{1}{2}\pi r) + \frac{1}{2}\pi r \to s(r) = \frac{9}{2}r - 2{r^2} - \pi {r^2} + \frac{1}{2}\pi {r^2} \to \\\\s(r) = \frac{9}{2}r - (\frac{{4 + \pi }}{2}){r^2} \to \\\\s'(r) = \frac{9}{2} - 2(\frac{{4 + \pi }}{2})r = \frac{9}{2} - (4 + \pi )r\frac{9}{2} - (4 + \pi )r = 0\\\\r = \frac{9}{{2(4 + \pi )}}\end{array}\)

 \(r = \frac{9}{{2(4 + \pi )}}\)شعاع نیم دایره

 \(x = 2r = 2 \times \frac{9}{{2(4 + \pi )}} = \frac{9}{{4 + \pi }}\)عرض پنجره

‏  \(\begin{array}{l}h = \frac{9}{4} - r - \frac{1}{2}\pi r\\\\h = \frac{9}{4} - \frac{9}{{2(4 + \pi )}} - \frac{1}{2}\pi (\frac{9}{{2(4 + \pi )}}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{{2(4 + \pi )}} - (\frac{{9\pi }}{{4(4 + \pi )}})\end{array}\) ارتفاع پنجره

 با توجه به شکل مقابل و نظر به اینکه محوطه کنار رودخانه ساخته می شود، پس : ‏

\(\begin{array}{l}y + y = 100 \to 2y = 100 \to y = 50\\\\{x^2} + {h^2} = {y^2}{x^2} + {h^2} = 2500\\\\{x^2} + {h^2} = 2500 \to h = \sqrt {2500 - {x^2}} \\\\s = \frac{1}{2}(2x)h = x\sqrt {2500 - {x^2}} ;0 < x < 50\\\\s' = \sqrt {2500 - {x^2}} + \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {2500 - {x^2}} }}(x) = 2\sqrt {2500 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2500 - {x^2}} }}\\\\\sqrt {2500 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2500 - {x^2}} }} = 0 \to \sqrt {2500 - {x^2}} = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2500 - {x^2}} }}\\\\250 = x\sqrt {2500 - {x^2}} = 25\sqrt 2 \times \sqrt {2500 - {{(25\sqrt 2 )}^2}} = 25\sqrt 2 \times \sqrt {2500 - 1250} \\\\ \to s = 25\sqrt 2 \times 25\sqrt 2 = 1250{m^2}\end{array}\)

توجه داشته باشید که بدون استفاده از مشتق نیز میتوان مسئله را حل کرد به استدلال زیر دقت کنید.

مساحت این مثلث با توجه به اطلاعات داده شده برابر \(s = \frac{1}{2}(50)(50) \times \sin \theta \) می باشد. بیشترین مساحت وقتی است که  \(\sin \theta = 1\)باشد. پس داریم :

\(\max (s) = \frac{1}{2}(50)(50)(1) = 1250\)

\(\begin{array}{l}{a^2} = {h^2} + {(\frac{b}{2})^2} \to h = \sqrt {{a^2} - } \frac{{{b^2}}}{4}(1)\\\\p = a + a + b \to b = p - 2a \to {b^2} = {p^2} - 4pa + 4{a^2}(2)\\\\(1),(2) \to h = \sqrt {{a^2} - \frac{1}{4}({p^2} - 4pa + 4{a^2})} \to h = \sqrt {pa - \frac{1}{4}{p^2}} \\\\s = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(p - 2a)\sqrt {pa - \frac{1}{4}{p^2}} + \frac{1}{2}(p - 2a) \times \frac{p}{{^2\sqrt {pa - \frac{1}{4}{p^2}} }}\\\\ = \frac{{ - 2pa + \frac{1}{2}{p^2} - pa}}{{^2\sqrt {pa - \frac{1}{4}{p^2}} }} = \frac{{{p^2} - 3pa}}{{^2\sqrt {pa - \frac{1}{4}{p^2}} }}\\\\\frac{{{p^2} - 3pa}}{{^2\sqrt {pa - \frac{1}{4}{p^2}} }} = 0 \to {p^2} - 3pa = 0 \to p(p - 3a) = 0\\\\p = 3a2b + b = 3a \to b = a\end{array}\)

یعنی مثلث متساوی الاضلاع است.