شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | نقطه ی عطف نمودار تابع](https://dl.my-dars.com/upload/image/0571739038336.jpg)
نقطه ی \((c,f(c))\) نقطه ی عطف نمودار تابع fکه نامیده میشود ) یا تابعf در نقطه یc عطف دارد.( هرگاه دو شرط زیر هم زمان باشند.
الف : نمودار fدر cدارای مماس واحد باشد. ( یعنی \(f'(c) = L\) یا \(f'(c) = + \infty \) یا \(f'(c) = - \infty \)
ب : جهت تقعرf در cعوض شود ( یعنی \(f''\) تغییر علامت دهد)
الف اگر نقطه ی cحداقل یکی از شرطهای فوق را نداشته باشد. نقطه ی عطف نمودار تابع نیست.
ب نقطه ی عطف تنها نقطه ای از نمودار تابع است که منحنی دارای مماس واحد بوده و مماس بر منحنی در این نقطه از منحنی عبور می کند.
ج با توجه به شرط اول نتیجه میشود که تابع fدر نقطه ی عطف پیوستگی دو طرفه دارد.
مثال
در هر یک از نمودارهای زیر نقاط عطف را در صورت وجود مشخص کنید و خط مماس بر منحنی در نقطه ی عطف را رسم کنید.
الف تقعر منحنی در همسایگی نقطه ی x = b عوض نشده است. لذا نقطه ی x = b نقطه ی عطف نیست.
ب تقعر منحنی در همسایگی نقطه ی x = a عوض شده است اما در این نقطه منحنی مماس واحد ندارد. لذا این نقطه نقطه ی عطف نمی باشد.
پ نقطه ی x = a هر دو شرط نقطه ی عطف را دارد. لذا این نقطه نقطه ی عطف نمودار تابع است.
برای تعیین نقطه ی عطف منحنی تابع f، مشتق دوم تابع را محاسبه کرده ریشه های صورت و مخرج \(f''(c)\) را به دست آورده و آن را تعیین علامت میکنیم در هر نقطه که \(f''\) تغییر علامت دهد. در صورتی که مماس واحد داشته باشیم آنگاه نمودار تابع fکه در آن نقطه دارای عطف است. ( در نقطه ی عطف تابع یا \(f''(c) = 0\) است و یا \(f''(c)\) وجود ندارد.(
مثال
نقطه یا نقاط عطف توابع زیر را در صورت وجود به دست آورید.
\(f(c){ = ^3}\sqrt x \) ب
\(f(c) = {x^3} - 6{x^2}\) الف
الف
\(\begin{array}{l}{D_f} = R\\\\f'(x) = 3{x^2} - 12x \to f''(x) = 6x - 126x - 12 = 0 \to x = 2\end{array}\)
ب
\(\begin{array}{l}{D_f} = R\\\\f'(x) = \frac{1}{{{3^3}\sqrt {{x^2}} }} \to f''(x) = \frac{{ - 2}}{{9{x^3}\sqrt {{x^2}} }}\end{array}\)
X=0ریشه ی مخرج
نقطه ی \(\left( {0,0} \right)\) نقطه ی عطف قائم تابع نیز نامیده می شود.
توجه : نقطه ی 0 = x نقطه ی عطف تابع \(f(x){ = ^3}\sqrt x \) است. ولی \(f''(0)\) موجود نیست.
نکته :
الف اگر مشتق دوم تابعی در نقطه ی x = C صفر شود و تغییر علامت ندهد آن نقطه، نقطه ی عطف نیست.
بطور مثال نقطه ی 0 = x در تابع \(f(x) = {x^4}\) که با وجود اینکه \(f''(0) = 0\) است ولی تغییر علامت نمی دهد.
ب نمودار هر تابع درجه ی سوم به شکل \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) همواره دارای نقطه ی عطفی به طول \(x = - \frac{b}{{3a}}\) می باشد.
پ در توابع چند جمله ای ریشه های ساده یا مکرر از مرتبه ی فرد \(f''\) ، همواره نقطه ی عطف نمودار تابع f هستند.
مثال
جدول تغییرات و جدول تقعر تابع \(f(c) = {x^3} - 3x\) و نقاط اکسترمم و نقاط عطف نمودار تابع را در صورت وجود به دست آورید.
\(\begin{array}{l}{D_f} = R\\\\f'(x) = 3{x^2} - 33{x^2} - 3 = 0 \to x = \pm 1\\\\f''(x) = 6x6x = 0 \to x = 0\end{array}\)
تابع درجه ی سوم یا دارای یک نقطه ی ماکزیمم نسبی و یک نقطه ی مینیمم نسبی است. یا هیچکدام را ندارد ولی در هر حالت نقطه ی عطف دارد. در صورتی که تابع درجه ی سوم دارای یک نقطه ی ماکزیمم نسبی و یک نقطه ی مینیمم نسبی باشد نقطه ی عطف وسط آنها است.
مثال
نمودار تابع \(f(x) = {x^3} - 3x\) به همراه نمودار مشتقات اول و دوم آن را رسم کنید.
مثال
اگر شکل زیر نمودار باشد کدام نمودار \(f''\) می تواند نمودار f باشد.
با توجه به نمودار مشخص است که تابع درجه سوم و صعودی میباشد. از طرفی طول نقطه ی عطف مثبت میباشد. لذا نمودار )ب ( جواب مسئله است.
گاهی می توان از مشتق دوم برای تعیین اکسترمم های نسبی ) موضعی ) نیز استفاده کرد.
فرض کنید \((c,(f)(c))\) نقطه ی بحرانی تابع fباشد و \(f'(c) = 0\) و \(f''(c)\) موجود باشد. در این صورت:
الف : اگر \(f'(c) > 0\) باشد آنگاه fدر cمینیمم نسبی دارد.
ب : اگر \(f'(c) < 0\) باشد، آنگاه fدرc ماکزیمم نسبی دارد.
ج : اگر \(f'(c) = 0\) باشد آنگاه آزمون بی نتیجه است )یعنی با این آزمون نمی توان حکم قطعی داد.(
از آنجا که طبق شرایط فوق باید \(f''(c)\) موجود باشد لذا تابع f باید در x = C مشتق پذیر باشد و چون نقطه ی بحرانی و است. لذا باید \(f'(c) = 0\) باشد. بنابراین با آزمون مشتق دوم اکسترمم های نسبی مشتق پذیر توابع را می توان تعیین نمود.
مثال
به کمک آزمون مشتق دوم ، نقاط اکسترمم نسبی تابع \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7\) را تعیین کنید.
\(\begin{array}{l}{D_f} = R\\\\f'(x) = 3{x^2} + 6x - 93{x^2} + 6x - 9 = 0\\\\ \to {x^2} + 2x - 3 \to x = 1,x = - 3\end{array}\)
نقاط ۱ = x و ۳- = x نقاط بحرانی تابع هستند و \(f'(1) = 0\) و \(f'( - 3) = 0\) . همچنین \(f''\) روی \(I = \left( { - \infty , + \infty } \right)\) موجود است. لذا:
\(f''(x) = 6x + 6 \to \left\{ \begin{array}{l}f''(1) = 12 > 0\\\\f''( - 3) = - 12 < 0\end{array} \right.\)
پس طبق آزمون مشتق دوم نقطه ی x=1 مینیمم نسبی و نقطه ی ۳- = x ماکزیمم نسبی است.
تهیه کننده : جابر عامری
1736019749.png)
