شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | قاعده ی هوپیتال](https://dl.my-dars.com/upload/image/05141739039149.jpg)
هرگاه gو fتوابعی مشتق پذیر در aبوده و \(f(a) = g(a) = 0\) باشد در این صورت واضح است که حدكسر \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) وقتی \(x \to a\)به صورت مبهم \(\frac{0}{0}\) در می آید. برای رفع ابهام این کسر با فرض اینکه \(x \ne a\)می توان به شکل زیر عمل کرد.
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{g(x) - g(a)}}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}}}{{\frac{{g(x) - g(a)}}{{x - a}}}} = \frac{{\frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}}}{{\frac{{g(x) - g(a)}}{{x - a}}}} = \frac{{f'(a)}}{{g'(a)}}\end{array}\)
یعنی برای محاسبه ی حد کسر \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) وقتی که \(x \to a\)اگر به صورت مبهم \(\frac{0}{0}\)درآید، کسری تشکیل می دهیم که صورت آن مشتق صورت کسر داده شده و مخرج آن نیز مشتق مخرج کسر داده شده باشند و سپس حد کسر بدست آمده را محاسبه می کنیم.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{f'(a)}}{{g'(a)}}\)
اگر حد کسر جدید نیز به شکل \(\frac{0}{0}\)در آید عمل مشتق گیری را مجدداً تکرار می کنیم.
مثال
حد زیر را حساب کنید.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} + x - 6}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} + x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x}}{{2x + 1}} = \frac{{2(2)}}{{2(2) + 1}} = \frac{4}{5}\)
مثال
حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{1 - \cos x}}\)را حساب کنید.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{1 - \cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\cos x}} = \frac{2}{{\cos (0)}} = \frac{2}{1} = 2\)
تهیه کننده : جابر عامری
1736019749.png)
