شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | کاربرد مشتق در تشخیص یکنوایی توابع](https://dl.my-dars.com/upload/image/0521739037451.jpg)
یکی از کاربردهای مهم مشتق تعیین یکنوایی توابع است. به قضیه ی زیر توجه کنید.
فرض کنید تابعf که بر روی بازه \(\left[ {a,b} \right]\)پیوسته و بر بازه ی \(\left( {a,b} \right)\) مشتق پذیر باشد. در این صورت :
الف : اگر به ازای هر \(x \in (a,b)\) داشته باشیم \(f'(x) > 0\)آنگاه تابع بر \(\left[ {a,b} \right]\) اکیداً صعودی است.
ب : اگر به ازای هر \(x \in (a,b)\) داشته باشیم \(f'(x) < 0\)، آنگاه تابع بر \(\left[ {a,b} \right]\) اکیداً نزولی است.
ج : اگر به ازای هر \(x \in (a,b)\)داشته باشیم \(f'(x) = 0\)، آنگاه تابع بر \(\left[ {a,b} \right]\) ثابت است.
1 شرط استفاده از قضیه ی فوق آن است که تابع fبر بازه ی \(\left[ {a,b} \right]\) پیوسته و بر بازه ی \(\left( {a,b} \right)\)مشتق پذیر باشد.
2 برای تعیین یکنوایی یک تابع از تابع مشتق گرفته و ریشه های مشتق را در صورت وجود به دست می آوریم سپس تابع مشتق را در قالب یک جدول تعیین علامت میکنیم در هر فاصله که علامت مشتق ، مثبت بود منحنی تابع در آن فاصله اکیداً صعودی و در هر فاصله که علامت مشتق منفی بود، منحنی تابع در آن فاصله اکیداً نزولی است.
مثال
جدول تغییرات تابع \(f(x) = {x^3} - 3x + 1\)را رسم کنید.
\(f(x) = {x^3} - 3x + 1 \to f'(x) = 3{x^2} - 33{x^2} - 3 = 0 \to x = \pm 1\)
لذا تابع fو در بازه ی \(\left[ { - 1,1} \right]\) اکیداً نزولی و در بازه های \(\left( {1, + \infty } \right)\) و \(\left( { - \infty , - 1} \right)\)اکیداً صعودی است.
۱ عکس این قضیه برای توابع یکنوا درست نیست. برای مثال تابع \(f(x) = {x^3}\) صعودی اکید است. اما مشتق آن در ۰=x مثبت نیست.
2 ممکن است مشتق تابعی صفر شود و آن تابع صعودی یا نزولی غیر اکید باشد. مانند تابع [f(x) = [x این جدول را جدول تغییرات یا جدول رفتار تابع می نامند.
تهیه کننده : جابر عامری
1736019749.png)
