نقاط بحرانی تابع

 تابع چند جمله ای است و در تمام نقاط درونی بازه مشتق پذیر است. لذا ابتدا فقط نقاطی را تعیین می کنیم که در آنها مشتق برابر صفر باشد.

\(\begin{array}{l}f(x) = - 2{x^3} + 3{x^2} + 1\\\\f'(x) = - 6{x^2} + 6x - 6{x^2} + 6x = 0 \to x = 0\end{array}\)

یا

\(x = 1\)

پس نقاط 0=x و ۱ = x نقاط بحرانی نمودار تابع هستند. نقطه ی ۱ = - x به عنوان نقطه ی ابتدای بازه ی داده شده نیز بحرانی می باشد.

 تابع چند جمله ای در تمام نقاط نقط درونی بازه مشتق پذیر است. لذا ابتدا نقاطی را تعیین می کنیم که در آنها مشتق برابر صفر باشد.

\(\begin{array}{l}f(x) = - {x^3} + 3{x^2}\\\\ \to f'(x) = - 3{x^2} + 6x - 3{x^2} + 6x = 0 \to x = 0\end{array}\)

یا

\(x = 2 \in \left[ { - 1,1} \right]\)

پس نقطه ی x=0 نقطه ی بحرانی نمودار تابع است. نقاط ۱ x= و ۱- = x به عنوان نقاط ابتدا و انتهای بازه ی داده شده نیز بحرانی می باشند.

 دامنه ی این تابع مجموعه ی اعداد حقیقی است. \({D_f} = R\) ‏

از طرفی این تابع : در نقطه ی ۲ = x مشتق پذیر نیست. این نقطه یک نقطه ی بحرانی تابع است.

 ابتدا دامنه ی تابع را تعیین می کنیم.

\(\begin{array}{l}4x - {x^2} \ge 0 \to x(4 - x) \ge 0 \to 0 \le x \le 4\\\\ \to {D_f} = \left[ {0,4} \right]\end{array}\)

اکنون از تابع مشتق گرفته و ریشه های صورت و مخرج آن را تعیین می کنیم.

\(f'(x) = \frac{{4 - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }}\frac{{4 - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \to x = 2\)

ریشه های صورت

X=2

  X=4وX=0ریشه های مخرج

لذا نقطه های ۴ = x و ۰ = x و ۲ = x نقاط بحرانی نمودار تابع می باشند.

\(\begin{array}{l}f(x) = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x \to f'(x) = 6{x^2} + 6x - 12x6{x^2} + 6x - 12x = 0\\\\{x^2} + x - 2 = 0 \to x = 1 \in \left[ { - 1,3} \right],x = - 2 \notin \left[ { - 1,3} \right]\end{array}\) 

لذا نقاط ۱x= و ۱ - = x و ۳ = x بحرانی هستند.

\(\begin{array}{l}f(1) = 2{(1)^3} + 3{(1)^2}\_12(1) = 2 + 3 - 12 = - 7\\\\f( - 1) = 2{( - 1)^3} + 3{( - 1)^2}\_12( - 1) = - 2 + 3 + 12 = 13\\\\f(3) = 2{(3)^3} + 3{(3)^2}\_12( - 3) = 54 + 27 - 36 = 45\end{array}\)

نقطه ی \(\left( {1, - 7} \right)\) مینیمم مطلق و نقطه ی  \(\left( {3,45} \right)\)ماکزیمم مطلق است.