رسم نمودار تابع هموگرافیک(همنگار)

هر تابع به صورت  \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\)  به شرط \(\frac{a}{c} \ne \frac{b}{d}\)  و  \(c \ne 0\) را تابع هموگرافیک می نامند. این تابع به ازای همه ی مقادیر xبجز ریشه ی مخرج یعنی  \(x = \frac{{ - d}}{c}\) پیوسته است.

تابع هموگرافیک دارای دو مجانب بصورت زیر می باشد.

مجانب قائم

\(cx + d = 0 \to x = \frac{{ - d}}{c}\)

مجانب افقی

\(y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ax + b}}{{cx + d}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ax}}{{cx}} = \frac{a}{c}\)

اگر از تابع هموگرافیک مشتق بگیریم، خواهیم داشت.

\(y' = \frac{{a(cx + d) - c(ax + b)}}{{{{(cx + d)}^2}}} = \frac{{ad - bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}\)

‏و چون  \(\frac{a}{c} \ne \frac{b}{d}\) پس \(ad \ne bc\) یا مینیمم لذا همواره \(y' \ne 0\) میباشد و لذا تابع نقطه ی هیچگاه ماگزیمم به ندارد. همچنین اگر  \(ad - bc > 0\)باشد تابع در هر سمت مجانب قائم آن صعودی اکید و اگر \(ad - bc < 0\) باشد تابع در هر سمت مجانب قائم أن نزولی اکید است ولی طبق تعریف تابع هموگرافیک در دامنه اش نه صعودی و نه نزولی می باشد.

اگر مشتق مثبت باشد نمودار تابع در ناحیه ی دوم و چهارم مجانب هایش قرار می گیرد.

و اگر مشتق منفی باشد نمودار تابع در ناحیه ی اول و سوم مجانب هایش قرار می گیرد.

تابع هموگرافیک دارای یک مرکز تقارن و دو محور تقارن است.

مرکز تقارن تابع هموگرافیک محل تلاقی مجانب های آن است. لذا مختصات مرکز تقارن همواره به صورت زیر می باشد.

\(\omega (\frac{{ - d}}{c},\frac{a}{c})\)

محورهای تقارن تابع هموگرافیک یکی از مجموع دو مجانب و دیگری از تفاضل دو مجانب تابع بدست می آیند.

\(\begin{array}{l}x + y = \frac{{ - d}}{c} + \frac{a}{c} = \frac{{a - d}}{c}\\\\x - y = \frac{{ - d}}{c} - \frac{a}{c} = - \frac{{a + d}}{c}\end{array}\)