شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | نقاط و مقدارهای اکسترمم نسبی](https://dl.my-dars.com/upload/image/0551739038097.jpg)
اگر تابع fکه روی بازه ی باز i تعریف شده باشد و نقطه ای مانند \(c \in I\)وجود داشته باشد که برای هر \(x \in I\)داشته باشیم \(f(c) \le f(x)\)آنگاه گوییم تابع که در نقطه ی مینیمم نسبی ) موضعی ) دارد را نقطه ی مینیمم نسبی و f(c) را مقدار مینیمم نسبی تابع می نامند.
اگر تابع و روی بازه ی باز i تعریف شده باشد و نقطه ای مانند \(c \in I\)وجود داشته باشد که برای هر \(x \in I\)داشته باشیم \(f(c) \ge f(x)\)آنگاه گوییم تابع در نقطه ی ماکزیمم نسبی )موضعی )دارد. را نقطه ی ماکزیمم نسبی و f(c) را مقدار ماکزیمم نسبی تابع می نامند.
هر نقطه ی مینیمم نسبی با ماکزیمم نسبی نقطه ی اکسترمم نسبی تابع نامیده می شود.
شکل زیر نمودار تابعf است.
تابع fدر نقاط\({c_1}\)و \({c_3}\)دارای مینیمم نسبی و در نقاط \({c_2}\)و \({c_4}\)دارای ماکزیمم نسبی است. ه
نکات:
1 : شرط لازم برای آن که نقطه ی اکسترمم نسبی تابع که باشد آن است که تابع f در یک همسایگی )دو طرفه ی (نقطه ی c تعریف شده باشد. بنابراین اگر تابع f فقط روی بازه ی \(\left[ {a,b} \right]\) تعریف شده باشد. آنگاه نقاط aوb نمی توانند اکسترمم نسبی f باشند ) خلاصه اینکه نقاط انتهایی بازه \(\left[ {a,b} \right]\)، اکسترمم نسبی نیستند.)
2: لزومی ندارد که تابعf از در نقاط اکسترمم نسبی خود پیوسته یا مشتق پذیر باشد. مانند نقاط 
\({c_3}\) و \({c_3}\) 
3: اگر تابع fدر نقطه ی دارای اکسترمم نسبی باشد و \(f'(c)\) موجود باشد آنگاه \(f'(c) = 0\) است. مانند نقاط \({c_2}\)و
\({c_1}\))یعنی در نقاط اکسترمم نسبی مشتق پذیر هر تابع مقدار عدد مشتق برابر با صفر و خط مماس در آن نقطه افقی است.(
4 :نقطه ی اکسترمم نسبی میتواند نقطه ی اکسترمم مطلق تابع fکه نیز باشد مانند نقطه ی \({c_3}\)که مینیمم نسبی و مطلق است.
5: اگر cنقطه ی اکسترمم مطلق تابعf که روی دامنه ی آن باشد و تابع و در یک همسایگی آن نقطه تعریف شده باشد آن گاه cنقطه ی نقطه ی اکسترمم نسبی fنیز هست. مانند نقطه ی \({c_3}\)
:6هر نقطه ی واقع بر یک تابع ثابت یا واقع بر بخشی از یک تابع که ثابت است هم مینیمم نسبی و هم ماکزیمم نسبی محسوب میشود ) زیرا در هر دو تعریف اکسترمم نسبی صدق می کند.(
:7هر نقطه ی اکسترمم نسبی یک نقطه ی بحرانی و است.اما هر نقطه ی بحرانی درونی لزوماً اکسترمم نسبی (یا مطلق (نیست. 0= x نقطه ی بحرانی تابع \(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}\) است. اما اکسترمم f( نسبی یا مطلق ) نیست.
قضیه ی فرما : اگر تابع fدر نقطه یc دارای اکسترمم نسبی و \(f'(c)\) وجود داشته باشد. آنگاه \(f'(c) = 0\) است .
نتیجه : هر نقطه ی اکسترمم نسبی تابع، یک نقطه ی بحرانی است.
آزمون مشتق اول )چگونگی تعیین نقاط اکسترمم نسبی تابع)
فرض کنیدc نقطه ی بحرانی تابعf باشد. \((a < c < b)\) و تابع fبر بازه ی \(I = (a,c)\) پیوسته و بر این بازه بجز احتمالاً در c، مشتق پذیر باشد. در این صورت:
الف : اگر \(f'\) روی \((a,c)\) مثبت و روی \((c,b)\) منفی باشد آنگاه fدر cماکزیمم نسبی دارد.
ب : اگر \(f'\) روی \((a,c)\) منفی و روی \((c,b)\) مثبت باشد آنگاه fدر cمینیمم نسبی دارد.
ج : اگر \(f'\) روی \((a,c)\) و \((c,b)\) تغییر علامت ندهد آنگاه fدر cاکسترمم نسبی ندارد.
توجه کنید که fمی تواند در c= x مشتق پذیر \((f'(c) = 0)\) یا مشتق ناپذیر \(f'(c))\) وجود ندارد ) باشد. اما حتماً باید در این نقطه پیوستگی دو طرفه داشته باشد. در واقع با آزمون مشتق اول ، اکسترمم های نسبی پیوسته ی توابع را می توان تعیین نمود.
در این قسمت نیز می توان از جدول تغییرات تابع جهت تعیین علامت مشتق اول و تعیین نقاط اکسترمم نیز کمک گرفت.
مثال
با رسم جدول تغییرات اکسترمم های نسبی تابع زیر را تعیین کنید.
\(f(x) = {x^4} + \frac{4}{3}{x^3} - 4{x^2}\)
\(\begin{array}{l}{D_f} = R\\\\f'(x) = 4{x^3} - 4{x^2} - 8x{x^3} - 4{x^2} - 8x = 0\\\\ \to 4x({x^2} + x - 2) = 0 \to 4x(x + 2)(x - 1) = 0 \to x = - 2,x = 0,x = 1\end{array}\)
\((1,\frac{{ - 5}}{3})\) و \(( - 2,\frac{{ - 32}}{3})\) نقطه ی ماکزیمم نسبی تابع
\((0,{0})\) نقطه ی ماکزیمم نسبی تابع
توجه کنید که در این تمرین برای حل معادله ی \(f'(x) = 0\) از قانون مجموع ضرایب که در اینجا صفر است. کمک گرفتیم همچنین در نقطه ی ۱ = x مشتق تغییر علامت نداده است پس این نقطه اکسترمم نسبی نیست.
نکته :
الف نمودار هر تابع درجه ی دوم به شکل \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) همواره دارای نقطه ی اکسترممی به \(b = - \frac{b}{{2a}}\) طول می باشد.
اگرa>0 آنگاه این نقطه مینیمم مطلق می باشد.
اگر a<0 آنگاه این نقطه ماکزیمم مطلق می باشد.
ب نمودار هر تابع درجه ی سوم به شکل \(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}a{x^3}{\rm{ }} + {\rm{ b}}{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ c}}x{\rm{ }} + {\rm{ }}d\) یا یک نقطه ی ماگزیمم نسبی و یک نقطه ی مینیمم نسبی ) همزمان( دارد یا هیچکدام را ندارد در صورتی که هر دو نقطه را داشته b باشد، طول نقطه ی وسط آنها برابر \(x = - \frac{b}{{3a}}\) است.
پ اگر در نقطه ای مانندc مشتق اول صفر شود طوری که در هر دو طرف آن نقطه مشتق اول تغییر علامت ندهد. آن گاه f(c) نه مینیمم نسبی و نه ماگزیمم نسبی است.
ت در توابع پیوسته ی مشتق پذیر ریشه های ساده و ریشه های مکرر مرتبه ی فرد معادله ی \(f'(x) = 0\) طول نقاط اکسترمم نسبی تابع f هستند ( زیرا در این نقاط مشتق تغییر علامت می دهد. (اما ریشه های مکرر مرتبه ی زوج، طول نقاط اکسترمم نسبی تابع نیستند زیرا در این نقاط مشتق تغییر علامت نمی دهد.
ث برای تعیین علامت مشتق میتوان یک نقطه ی دلخواه ) غیر از ریشه های آن( را انتخاب و با جایگزین نمودن آن نقطه در مشتق علامت عدد حاصل را در نظر گرفت.
تهیه کننده : جابر عامری
1736019749.png)
