جواب تمرین صفحه 44 درس 2 هندسه یازدهم (تبدیل های هندسی و کاربردها)

طبق تعریف بازتاب:

\(\begin{array}{l}BH = B'H \Rightarrow BA' + A'H = B'A + AH\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{AH = A'H} \;\;B'A = BA'\\\\\left. \begin{array}{l}AB = AA' + A'B\\A'B' = AA' + B'A\\B'A = BA'\end{array} \right\} \Rightarrow AB = A'B'\end{array}\)

جهت حرکت در بازتاب این نقاط خلاف جهت حرکت عقربه های ساعت است؛ خیر نمی توان گفت بازتاب جهت شکل را حفظ می کند.

الف

بنا بر تعریف دوران OA=OA’ ، در نتیجه نقطه O به یک فاصله از نقاط A و A’ قرار دارد، در نتیجه بنا بر تعریف عمودمنصف، نقطه O بر روی عمودمنصف پاره خط AA’ قرار دارد.

ب

می دانیم که مرکز دوران بر روی عمودمنصف پاره خط تشکیل شده از رئوس نقطه و تصویر همان نقطه قرار دارد. حال اگر این عمودمنصف ها را رسم کنیم، این خط ها یکدیگر را در مرکز دوران قطع خواهند کرد.

الف

\(\begin{array}{l}AA'' = AH + HA' + A'H' + H'A''\\\\\mathop \Rightarrow \limits_{A'H' = H'A''}^{AH = HA'} \;\;2HA' + 2A'H'\\\\ \Rightarrow AA'' = 2\left( {HA' + A'H'} \right) \Rightarrow AA'' = 2m\end{array}\)

ب

بنا بر اثبات قسمت (الف) به روش مشابه نتیجه می گیریم که: \(BB'' = CC'' = 2m\)

پ

با انتقالی تحت بردار انتقالی که اندازه آن دو برابر فاصله بین دو خط بازتاب d₁ و d₂ یعنی m2 و راستای آن عمود بر این دو خط است، می توان مثلث \(A''\mathop {B''}\limits^\Delta C''\) را تصویر مثلث \(A\mathop B\limits^\Delta C\) دانست.

نتیجه می گیریم ترکیب دو بازتابی که محورهای بازتاب، موازی یکدیگر هستند یک انتقال است.

الف

خط d₁ محور بازتاب است، پس نیمساز زاویه AOA’ است؛ یعنی: \({\widehat O_1} = {\widehat O_2}\)

خط d₂ محور بازتاب است، پس نیمساز زاویه A’OA” است؛ یعنی: \({\widehat O_3} = {\widehat O_4}\)

\(\begin{array}{l}\widehat {AOA''} = {\widehat O_1} + {\widehat O_2} + {\widehat O_3} + {\widehat O_4}\;\\\\\mathop \Rightarrow \limits_{{{\widehat O}_3} = {{\widehat O}_4}}^{{{\widehat O}_1} = {{\widehat O}_2}} \widehat {AOA''} = 2{\widehat O_2} + 2{\widehat O_3}\\\\ \Rightarrow \widehat {AOA''} = 2({\widehat O_2} + {\widehat O_3}) \Rightarrow \widehat {AOA''} = 2\theta \end{array}\)

ب

بنا بر اثبات قسمت (الف) بطور مشابه: \(\widehat {BOB''} = \widehat {COC''} = 2\theta \)

پ

با دورانی به مرکز O نقطه برخورد دو خط بازتاب d₁ و d₂ و زاویه ای به اندازه رو برابر زاویه بین دو خط (\(2θ\)) می توان مثلث A”B”C” را تصویر مثلث ABC دانست.

نتیجه می گیریم که ترکیب دو بازتاب که محورهای بازتاب متقاطع باشند، یک دوران است.

\(\begin{array}{l}AA'' = \sqrt {A{{A'}^2} + A'{{A''}^2} - 2AA' \cdot A'A''\sin {{120}^ \circ }} \\\\ = \sqrt {{{(4\sqrt 6 )}^2} + {{(4\sqrt 6 )}^2} - 2(4\sqrt 6 )(4\sqrt 6 )(\frac{{\sqrt 3 }}{2})} = 12\sqrt 2 \end{array}\)

\(\left. \begin{array}{l}AM = A'M\\{\widehat M_1} = {\widehat M_2} = {90^ \circ }\\OM = common\end{array} \right\} \Rightarrow A\mathop O\limits^\Delta M \cong A'\mathop O\limits^\Delta M \Rightarrow OA = OA' = 10\)

Common = مشترک

\(\begin{array}{l}A{H^2} = A{O^2} - O{H^2} = AA'{\,^2} - A{H^2}\\\\ \Rightarrow {10^2} - {x^2} = {16^2} + {(10 + x)^2}\\\\100 - {x^2} = 256 - 100 - 20x - {x^2}\\\\ \Rightarrow 20x = 56 \Rightarrow x = \frac{{56}}{{20}} = 2/8\\\\A{H^2} = 100 - {x^2} = 100 - 2/{8^2} = 92/16\\\\ \Rightarrow AH = \sqrt {92/16} \simeq 9/6\end{array}\)