شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 مفهوم هر یک از گزاره های زیر را بیان کنید.
الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\)
ب \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 4\)
الف هر چه مقدار x بزرگتر شود، مقادیر f به عدد 2 میل می کند؛ به عبارتی دیگر y=2 مجانب افقی تابع f می باشد.
ب هر چه مقدار x کوچکتر شود، مقادیر f به عدد 4 میل می کند؛ به عبارتی دیگر y=-4 مجانب افقی دیگر تابع f می باشد.
2 برای تابع f که نمودار آن داده شده است موارد زیر را به دست آورید:
الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \)
ب \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \)
پ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \)
ت \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \)
ث \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \)
مجانب های افقی و قائم ج
الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1\)
ب \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 1\)
پ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = + \infty \)
ت \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = + \infty \)
ث \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = - \infty \)
مجانب های افقی و قائم ج
:مجانب قائم
\(x = - 2\quad ,\quad x = 3\)
:مجانب افقی
\(y = - 1\quad ,\quad y = 1\)
3 حاصل حدود زیر را به دست آورید:
الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 5}}{{x - 2}}\)
ب \(\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \frac{{{t^2} + 1}}{{{t^3} - 2{t^2} + 1}}\)
پ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - {x^2} + 2x}}{{4x + 1}}\)
ت \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)\)
الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 5}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; + \;\infty } \frac{3}{1} = 3\)
ب \(\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \frac{{{t^2} + 1}}{{{t^3} - 2{t^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; - \;\infty } \frac{1}{t} = 0\)
پ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - {x^2} + 2x}}{{4x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{{ - 1}}{4}x = \mp \;\infty \)
ت \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 2{x^2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; - \;\infty } {x^3} = - \;\infty \)
4 مجانب های افقی و قائم نمودارهای هر یک از توابع زیر را در صورت وجود به دست آورید:
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 3}}\) الف
ب \(y = \frac{x}{{{x^2} - 4}}\)
پ \(y = \frac{{1 + 2{x^2}}}{{1 - {x^2}}}\)
ت \(y = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}\)
الف
مجانب قائم
\(\begin{array}{l} \Rightarrow x = 3\quad :\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2x - 1}}{{x - 3}} = \frac{5}{0} = \infty \Rightarrow x = 3\\\end{array}\)
مجانب افقی
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{2}{1} = 2 \Rightarrow y = 2\)
ب
مجانب قائم
\( \Rightarrow x = - 2\quad :\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{x}{{{x^2} - 4}} = \frac{{ - 2}}{0} = \infty \Rightarrow x = - 2\)
مجانب قائم
\( \Rightarrow x = 2\quad \;\;\,:\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{x}{{{x^2} - 4}} = \frac{2}{0} = \infty \Rightarrow x = 2\)
مجانب افقی
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{x}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow y = 0\)
پ
مجانب قائم
\( \Rightarrow x = - 1\quad :\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{1 + 2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} = \frac{3}{0} = \infty \Rightarrow x = - 1\)
مجانب قائم
\( \Rightarrow x = 1\quad \;\;\,:\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 + 2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} = \frac{3}{0} = \infty \Rightarrow x = 1\)
مجانب افقی
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{{1 + 2{x^2}}}{{1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{2}{{ - 1}} = - 2 \Rightarrow y = - 2\quad :\)
ت
مجانب افقی
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \; \pm \;\infty } \frac{2}{x} = 0 \Rightarrow y = 0\)
5 نمودار تابع f را به گونه ای رسم کنید که همه شرایط زیر را دارا باشد:
الف f(1) = f(-2) = 0
ب \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = - \infty \;\;,\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty \)
پ خط y = -1 مجانب افقی آن باشد.
1736019749.png)
