شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 توابع \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\) و g(x) = x + 1 را در نظر بگیرید.
الف حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\) را به دست آورید.
ب تابع f + g را به صورت یک تابع گویا بنویسید و حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\left( {f + g} \right)\left( x \right)} \right)\) را محاسبه کنید.
پ چه نتیجه ای می گیرید؟
الف
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \;0} f(x) = + \;\infty \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \;0} g(x) = 0 + 1 = 1\end{array}\)
ب
\(\begin{array}{l}(f + g)(x) = \frac{1}{{{x^2}}} + x + 1 = \\\\\frac{{{x^3} + {x^2} + 1}}{{{x^2}}}\\\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \;0} (f + g)(x) = \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \;0} \frac{{{x^3} + {x^2} + 1}}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty \end{array}\)
پ اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \;a} f(x) = + \;\infty \) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \;a} g(x) = L\) آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \;a} (f + g)(x) = + \;\infty \)
2 تابع g × f را به صورت یک تابع گویا بنویسید و حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \times g\left( x \right)\) را محاسبه کنید و ارتباط آن را با \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)\) بیان کنید.
\(\begin{array}{l}(f \times g)(x) = \frac{1}{{{x^2}}} \times (x + 1) = \frac{{x + 1}}{{{x^2}}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \;0} (f \times g)(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \;0} \frac{{x + 1}}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{0^ + }}} = + \;\infty \end{array}\)
اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \;a} f(x) = + \;\infty \) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \;a} g(x) = L\) آنگاه اگر \(L > 0\) در نتیجه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \;a} (f \times g)(x) = + \;\infty \) و اگر \(L < 0\) در نتیجه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \;a} (f \times g)(x) = - \;\infty \)
1736019749.png)
