شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 دو عدد حقیقی بیابید که مجموع آنها 1/5- و حاصل ضربشان 7- باشد.
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}S = - 1/5\\P = - 7\end{array} \right\} \Rightarrow {x^2} - Sx + P = {x^2} + 1/5x - 7 = 0 \Rightarrow \Delta = {\left( {1/5} \right)^2} - 4\left( 1 \right)\left( { - 7} \right) = 30/25\\x = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 1/5 \pm 5/5}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - 1/5 - 5/5}}{2} = - 3/5\\{x_2} = \frac{{ - 1/5 + 5/5}}{2} = 2\end{array} \right.\end{array}\)
2 آیا مستطیلی با محیط 11cm و مساحت 6cm2 وجود دارد؟ اگر جواب مثبت است، طول و عرض آن را مشخص کنید.
حل: اگر ابعاد مستطیل را α و $ بنامیم، داریم:
محیط \(11\; \Rightarrow \;2\left( {\alpha + \beta } \right) = 11\; \Rightarrow \;\alpha + \beta = \frac{{11}}{2}\; \Rightarrow \;\beta = \frac{{11}}{2} - \alpha \)
مساحت \(6\; \Rightarrow \;\alpha \;.\;\beta = 6\; \Rightarrow \;\alpha \left( {\frac{{11}}{2} - \alpha } \right) = 6\)
الف معادلهٔ بالا را ساده کنید و از حل آن α و $ را به دست آورید.
ب با استفاده از S و P و تشکیل یک معادلهٔ درجه دوم، این مسئله را حل کنید.
الف
\(\begin{array}{l}\alpha \left( {\frac{{11}}{2} - \alpha } \right) = 6 \Rightarrow - {\alpha ^2} + \frac{{11}}{2}\alpha - 6 = 0 \Rightarrow \Delta = {\left( {\frac{{11}}{2}} \right)^2} - 4\left( { - 1} \right)\left( { - 6} \right) = 6/25\\\alpha = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 5/5 \pm \sqrt {6/25} }}{{ - 2}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\alpha _1} = \frac{{ - 5/5 - 2/5}}{{ - 2}} = 4\\{\alpha _2} = \frac{{ - 5/5 + 2/5}}{{ - 2}} = - 1/5\end{array} \right.\\ \Rightarrow \alpha = 4 \Rightarrow \beta = 1/5\end{array}\)
ب
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}S = \alpha + \beta = \frac{{11}}{2}\\P = \alpha \cdot \beta = 6\end{array} \right\} \Rightarrow {x^2} - Sx + P = {x^2} - \frac{{11}}{2}x + 6 = 0 \Rightarrow \Delta = {\left( { - \frac{{11}}{2}} \right)^2} - 4\left( 1 \right)\left( 6 \right) = 6/25\\x = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{5/5 \pm \sqrt {6/25} }}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{5/5 + 2/5}}{2} = 4 \Rightarrow \alpha = 4\\{x_2} = \frac{{5/5 - 2/5}}{2} = 1/5 \Rightarrow \beta = 1/5\end{array} \right.\end{array}\)
3 معادلهٔ درجهٔ دومی بنویسید که ریشه های آن \(\frac{{3 - \sqrt \Delta }}{2}\) و \(\frac{{3 + \sqrt \Delta }}{2}\) باشند.
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\alpha = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\\beta = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = \alpha + \beta = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = 3\\P = \alpha \cdot \beta = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \times \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = \frac{{{3^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}{4} = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x^2} - Sx + P = 0 \Rightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\end{array}\)
1736019749.png)
