جواب تمرین صفحه 57 درس 2 ریاضی پنجم

برای درک دقیق این مسئله، بهترین راهبرد استفاده از تصویرسازی ذهنی یا رسم یک شکل ساده است تا منطق ریاضی آن را به طور عمیق و مفهومی متوجه شوی.

ابتدا کل زمین مستطیل‌شکل را به عنوان یک واحد کامل در نظر بگیر. وقتی کشاورز زمین را به دو قسمت کاملاً مساوی تقسیم می‌کند، هر قسمت دقیقاً برابر با کسر \(\frac{1}{2}\) از کل زمین می‌شود. در مرحله بعد، مسئله بیان می‌کند که او در \(\frac{1}{5}\) از یکی از این قسمت‌ها (یعنی \(\frac{1}{5}\) از همان \(\frac{1}{2}\)) سبزی کاشته است.

در ادبیات ریاضی، عبارت «کسری از یک مقدار دیگر» مستقیماً به عملیات ضرب اشاره دارد. بنابراین برای یافتن سهم نهایی زمینِ کاشته‌شده از کل زمین، باید این دو کسر را در یکدیگر ضرب کنی:

\(\frac{1}{2} \times \frac{1}{5}\)

بر اساس قاعده ضرب کسرها، صورت‌ها را در هم (\(1 \times 1\)) و مخرج‌ها را نیز در هم (\(2 \times 5\)) ضرب می‌کنی که حاصل برابر با \(\frac{1}{10}\) خواهد شد. در نتیجه، این کشاورز در \(\frac{1}{10}\) از کل زمین خود سبزی کاشته است.

در این مسئله، زهره با خرج کردن ۲۵۰۰ تومان، مبلغ بیشتری نسبت به ناهید خرج کرده است.

برای رسیدن به این پاسخ و درک عمیق روش حل، بهترین استراتژی این است که مسئله اصلی را به سه زیرمسئله ساده‌تر و عملیاتی تجزیه کنی:

• محاسبه مقدار پول خرج‌شده توسط زهره: ابتدا باید حساب کنی \(\frac{5}{8}\) از ۴۰۰۰ تومان چقدر می‌شود. برای سادگی محاسبات، می‌توانی اول ۴۰۰۰ را بر مخرج کسر (۸) تقسیم کنی که حاصل آن ۵۰۰ می‌شود. سپس این عدد را در صورت کسر (۵) ضرب کن که به عدد ۲۵۰۰ تومان می‌رسی.

\(\frac{5}{8} \times 4000 = 2500\)

• محاسبه مقدار پول خرج‌شده توسط ناهید: دقیقاً با همان منطق، برای محاسبه \(\frac{7}{10}\) از ۳۰۰۰ تومان، ابتدا ۳۰۰۰ را بر ۱۰ تقسیم کن تا به عدد ۳۰۰ برسی. حالا با ضرب ۳۰۰ در ۷، مقدار پول خرج‌شده ناهید یعنی ۲۱۰۰ تومان به دست می‌آید.

\(\frac{7}{{10}} \times 3000 = 2100\)

• مقایسه نهایی مبالغ: در گام آخر، با مقایسه این دو عدد واقعی و شفاف (۲۵۰۰ در برابر ۲۱۰۰)، با اطمینان نتیجه می‌گیری که خرج زهره بیشتر بوده است.

تجزیه مسائل چندمرحله‌ای به بخش‌های کوچک‌تر، یکی از قوی‌ترین تکنیک‌های «چگونه اندیشیدن» در ریاضیات است که تو را قادر می‌سازد با هر چالش پیچیده‌ای به صورت کاملاً مستقل و موفقیت‌آمیز روبه‌رو شوی.

برای محاسبه اینکه اقیانوس آرام چه کسری از کل سطح زمین را پوشانده است، با مفهوم «کسری از یک کسر دیگر» روبه‌رو هستی که در ریاضیات با عملیات ضرب حل می‌شود.

وقتی مسئله می‌گوید \(\frac{1}{2}\) از مقدار \(\frac{7}{10}\) زمین، یعنی باید این دو مقدار را در یکدیگر ضرب کنی تا سهم نهایی اقیانوس آرام به دست بیاید. بنابراین، عبارت ریاضی مسئله به این شکل نوشته می‌شود:

\(\frac{1}{2} \times \frac{7}{10}\)

بر اساس اصول ساده ضرب کسرها، صورت‌ها را در یکدیگر (\(1 \times 7\)) و مخرج‌ها را نیز در هم (\(2 \times 10\)) ضرب می‌کنی. حاصل این عملیات دقیقاً کسر \(\frac{7}{20}\) است. در نتیجه، اقیانوس آرام \(\frac{7}{20}\) از کل سطح کره زمین را تشکیل می‌دهد.

\(\frac{1}{2} \times \frac{7}{{10}} = \frac{{1 \times 7}}{{2 \times 10}} = \frac{7}{{20}}\)

حاصل ضرب \(\frac{1}{5} \times \frac{7}{8}\) بیشترین نزدیکی را به کسر \(\frac{1}{5}\) دارد. برای درک عمیق دلیل این موضوع، می‌توانی مسئله را با دو استراتژی قدرتمند تحلیل کنی:

• روش مفهومی و تخمین: کسر \(\frac{7}{8}\) نشان‌دهنده هفت قسمت از هشت قسمت است و مقدار آن بسیار به عدد کامل ۱ نزدیک است. بر اساس اصول ریاضی، ضرب هر مقدار در عدد ۱ برابر با خود آن مقدار می‌شود. بنابراین، وقتی کسر \(\frac{1}{5}\) را در عددی که تقریباً معادل ۱ است ضرب می‌کنی، حاصل نهایی نیز بسیار نزدیک به خود \(\frac{1}{5}\) باقی می‌ماند.

• روش محاسبه و مقایسه دقیق: ابتدا حاصل ضرب را طبق قاعده ضرب کسرها به دست بیاور؛ با ضرب صورت‌ها و مخرج‌ها به کسر \(\frac{7}{40}\) می‌رسی. برای مقایسه دقیق‌تر گزینه‌ها، کسر \(\frac{1}{5}\) را با ضرب صورت و مخرج در عدد ۸، به کسر معادل \(\frac{8}{40}\) تبدیل کن. فاصله \(\frac{7}{40}\) تا \(\frac{8}{40}\) تنها یک واحد در صورت (یعنی \(\frac{1}{40}\)) است که نشان می‌دهد این گزینه نسبت به سایر اعداد کمترین فاصله را با جواب واقعی دارد.

استفاده همزمان از قدرت تخمین مفهومی و دقت محاسباتی، مهارت تو را در درک چرایی مسائل ریاضی و حل مستقل آن‌ها به سطحی عالی ارتقا می‌دهد.

در ضرب کسرها، یک قانون ساده و همیشگی وجود دارد: صورت‌ها در هم ضرب می‌شوند و مخرج‌ها نیز در هم ضرب می‌شوند. نیازی به مخرج مشترک گرفتن یا ثابت نگه‌داشتن مخرج‌ها نیست.

بر اساس این قانون، محاسبه اصلی به این شکل انجام می‌شود:

\(\frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 5} = \frac{6}{25}\)

حالا با این محاسبه دقیق، گزینه‌ها را بررسی می‌کنیم:

الف نادرست است:

در این عبارت صورت‌ها به درستی ضرب شده‌اند (\(3 \times 2 = 6\))، اما مخرج‌ها ضرب نشده‌اند و عدد ۵ بدون تغییر باقی مانده است. این اشتباه زمانی رخ می‌دهد که دانش‌آموز قانون ضرب را با قانون جمع کسرها (که در آن مخرج ثابت می‌ماند) جابه‌جا می‌گیرد.

ب درست است:

این گزینه کاملاً منطبق بر اصول ریاضی است. هم صورت‌ها (\(3 \times 2 = 6\)) و هم مخرج‌ها (\(5 \times 5 = 25\)) به درستی در یکدیگر ضرب شده‌اند.

پ نادرست است:

در اینجا صورت‌ها ضرب شده‌اند (\(3 \times 2 = 6\))، اما مخرج‌ها به اشتباه با یکدیگر جمع شده‌اند (\(5 + 5 = 10\)). در ضرب کسرها هیچ عملیات جمعی انجام نمی‌شود.

مقدار واقعی صفحاتی که خوانده شده، نه تنها به کسرِ بیان‌شده، بلکه به تعداد کل صفحات هر کتاب بستگی دارد. وقتی دو کسر از دو «مقدار کل» متفاوت محاسبه می‌شوند، نمی‌توانیم فقط با مقایسه خود کسرها قضاوت کنیم.

برای درک دقیق این موضوع، این مثال عددی را بررسی کن:

• کتاب مریم: فرض کن کتاب او ۱۰۰ صفحه دارد و \(\frac{3}{4}\) آن را خوانده است. محاسبه صفحات خوانده‌شده به این شکل خواهد بود:

\(\frac{3}{4} \times 100 = \frac{3 \times 100}{4} = 75\) صفحه

• کتاب نسرین: حالا فرض کن کتاب نسرین بسیار قطورتر و دارای ۲۰۰ صفحه است و او \(\frac{1}{2}\) این کتاب را خوانده است:

\(\frac{1}{2} \times 200 = \frac{1 \times 200}{2} = 100\) صفحه

با مقایسه این دو نتیجه می‌بینیم که نسرین ۱۰۰ صفحه و مریم ۷۵ صفحه خوانده است. این مثال به سادگی ثابت می‌کند با وجود اینکه کسر \(\frac{1}{2}\) از کسر \(\frac{3}{4}\) کوچک‌تر است، اما چون کتاب نسرین صفحات کل بیشتری داشته، در نهایت او مقدار بیشتری مطالعه کرده است.

\(\begin{array}{*{20}{l}}{5 \times \frac{3}{{10}} = \frac{{5 \times 3}}{{10}} = \frac{{15}}{{10}}}\\{}\\{\frac{1}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{{1 \times 3}}{{4 \times 5}} = \frac{3}{{20}}}\\{}\\{\frac{3}{4} \times 3 = \frac{{3 \times 3}}{4} = \frac{9}{4}}\\{}\\{\frac{4}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{{4 \times 2}}{{5 \times 3}} = \frac{8}{{15}}}\end{array}\)

عبارت زیر را به صورت زیر کامل می کنیم:

الف

مسئله: مریم برای پختن هر کیک به \(\frac{1}{2}\) پیمانه شکر نیاز دارد. اگر او بخواهد ۴ کیک بپزد، در مجموع به چند پیمانه شکر نیاز خواهد داشت؟

حل و محاسبه: برای یافتن مقدار کل، باید عدد ۴ (تعداد کیک‌ها) را در کسر \(\frac{1}{2}\) ضرب کنی. ابتدا به عدد ۴ مخرج ۱ می‌دهیم و سپس صورت‌ها و مخرج‌ها را در هم ضرب می‌کنیم:

\(4 \times \frac{1}{2} = \frac{4}{1} \times \frac{1}{2} = \frac{{4 \times 1}}{{1 \times 2}} = \frac{4}{2} = 2\)

با ساده کردن کسر (تقسیم ۴ بر ۲)، پاسخ نهایی ۲ پیمانه شکر به دست می‌آید.

ب

مسئله: طول یک طناب ۹ متر است. امیر از \(\frac{2}{3}\) این طناب برای بستن یک چادر استفاده کرده است. او دقیقاً چند متر از طناب را مصرف کرده است؟

حل و محاسبه: محاسبه «کسری از یک مقدار»، مستقیماً با عملیات ضرب انجام می‌شود. پس باید کسر را در عدد صحیح ضرب کنی:

\(\frac{2}{3} \times 9 = \frac{2}{3} \times \frac{9}{1} = \frac{{2 \times 9}}{{3 \times 1}} = \frac{{18}}{3} = 6\)

با تقسیم ۱۸ بر ۳، به پاسخ ۶ متر طناب می‌رسی.

پ

مسئله: یک کشاورز \(\frac{1}{5}\) از کل زمین خود را شخم زده است. او تصمیم می‌گیرد در \(\frac{1}{2}\) از این قسمتِ شخم‌زده، گندم بکارد. این کشاورز در چه کسری از کل زمین خود گندم کاشته است؟

حل و محاسبه: برای یافتن سهم نهایی (کسری از یک کسر دیگر)، باید این دو کسر را در یکدیگر ضرب کنی:

\(\frac{1}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{{1 \times 1}}{{2 \times 5}} = \frac{1}{{10}}\)

پاسخ نشان می‌دهد که در \(\frac{1}{10}\) از کل زمین گندم کاشته شده است.

برای پاسخ به این سوال جذاب، ابتدا باید ببینیم حاصل‌ضرب اصلی چقدر می‌شود. طبق قانون ضرب کسرها، محاسبه را به صورت دقیق و گام‌به‌گام انجام می‌دهیم:

\(\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{6}{20}\)

اگر صورت و مخرج کسر \(\frac{6}{20}\) را بر عدد ۲ تقسیم کنیم (ساده‌سازی)، به کسر \(\frac{3}{10}\) می‌رسیم.

حالا ماموریت ما این است که دو کسر جدید پیدا کنیم که وقتی در هم ضرب می‌شوند، حاصل آن‌ها برابر با \(\frac{6}{20}\) (یا همان \(\frac{3}{10}\)) شود. برای این کار دو استراتژی هوشمندانه به تو پیشنهاد می‌دهم:

استراتژی اول: جابه‌جا کردن صورت‌ها (استفاده از خاصیت جابه‌جایی)

در ضرب، جابه‌جا کردن اعداد تغییری در جواب نهایی ایجاد نمی‌کند. پس می‌توانی جای صورت‌های کسر اول و دوم را با هم عوض کنی. در این حالت کسرها تغییر می‌کنند اما حاصل‌ضرب ثابت می‌ماند:

\(\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3 \times 2}{5 \times 4} = \frac{6}{20}\)

استراتژی دوم: یافتن عامل‌های ضرب جدید برای صورت و مخرج

بیا روی کسر ساده‌شده یعنی \(\frac{3}{10}\) تمرکز کنیم. از خودت بپرس چه عددهایی در هم ضرب شوند تا صورت (یعنی ۳) ساخته شود؟ واضح است که \(1 \times 3\). حالا چه عددهایی در هم ضرب شوند تا مخرج (یعنی ۱۰) ساخته شود؟ مثلاً \(2 \times 5\). با کنار هم قرار دادن این اعداد می‌توانی کسرهای جدیدی بسازی:

\(\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{1 \times 3}{2 \times 5} = \frac{3}{10}\)