جواب تمرین صفحه 64 درس 2 ریاضی پنجم

\(\begin{array}{l}15 \div 8 = 15 \times \frac{1}{8} = \frac{{15}}{8}\\\\2 \div 7 = 2 \times \frac{1}{7} = \frac{2}{7}\\\\3 \div 12 = 3 \times \frac{1}{{12}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}\\\\12 \div 5 = 12 \times \frac{1}{5} = \frac{{12}}{5}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2} \div 7 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{{14}}\\\\1 \div \frac{1}{5} = 1 \times 5 = 5\\\\18 \div \frac{1}{3} = 18 \times 3 = 54\\\\\frac{3}{7} \div 2 = \frac{3}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{{14}}\end{array}\)

برای یافتن سهم هر کشور از این محصولات، باید مقداری که برای صادرات در نظر گرفته شده است (یعنی \(\frac{1}{5}\) کل محصول) را به طور مساوی بر تعداد کشورها (۴ کشور) تقسیم کنیم.

بنابراین، عبارت ریاضی این مسئله با یک عملیات تقسیم ساده نوشته می‌شود:

\(\frac{1}{5} \div 4\)

همان‌طور که در تمرین‌های قبلی به یک قانون طلایی رسیدیم، تقسیم کردن یک مقدار بر عدد ۴، دقیقاً به معنای پیدا کردن \(\frac{1}{4}\) (یک‌چهارمِ) آن مقدار است. پس می‌توانیم علامت تقسیم را به ضرب تبدیل کرده و عدد ۴ را به کسر معکوس آن (یعنی \(\frac{1}{4}\)) تغییر دهیم.

حالا محاسبه را به صورت گام‌به‌گام انجام می‌دهیم:

\(\frac{1}{5} \div 4 = \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1 \times 1}{5 \times 4} = \frac{1}{20}\)

در نتیجه، به هر یک از این کشورها دقیقاً \(\frac{1}{20}\) از کل محصول کارخانه صادر شده است.

تصویرسازی ذهنی برای درک عمیق‌تر:

برای اینکه مطمئن شوی جوابت کاملاً منطقی است، یک مستطیل بزرگ را به عنوان کل محصولات کارخانه تصور کن. این مستطیل را به ۵ ستون مساوی تقسیم کن؛ یکی از این ستون‌ها (نشان‌دهنده \(\frac{1}{5}\)) قرار است صادر شود. حالا اگر همین یک ستون را با خطوط افقی به ۴ قسمت مساوی برای ۴ کشور برش بزنی، می‌بینی که برای حفظ تناسب، کل مستطیل تو به ۲۰ خانه کوچک تقسیم شده است. سهم هر کشور دقیقاً یکی از این ۲۰ خانه کوچک، یعنی همان \(\frac{1}{20}\) کل شکل است.

برای محاسبه تعداد بسته‌های چای، باید بررسی کنیم که در ۴ کیلوگرم، چند مقدار \(\frac{1}{5}\) کیلوگرمی وجود دارد. وقتی می‌خواهیم بدانیم یک مقدار کسری چند بار در یک مقدار کل جای می‌گیرد، از عملیات تقسیم استفاده می‌کنیم.

عبارت ریاضی این مسئله به شکل زیر نوشته می‌شود:

\(4 \div \frac{1}{5}\)

بر اساس قاعده‌ای که در تمرین‌های قبل آموخته‌ایم، برای محاسبه تقسیم بر یک کسر، عدد اول را ثابت نگه می‌داریم، عمل تقسیم را به ضرب تبدیل می‌کنیم و کسر دوم را معکوس می‌کنیم:

\(4 \div \frac{1}{5} = 4 \times \frac{5}{1} = 4 \times 5 = 20\)

بنابراین، با این مقدار چای دقیقاً ۲۰ بسته پر می‌شود.

توضیح مفهومی و تصویرسازی ذهنی:

برای درک عمیق‌تر این راه‌حل، ۴ مربع کامل را در ذهن خود تصور کن که هر کدام نشان‌دهنده یک کیلوگرم چای است. چون هر بسته تنها ظرفیت \(\frac{1}{5}\) کیلوگرم را دارد، تو باید هر کدام از این مربع‌های یک کیلوگرمی را به ۵ قسمت مساوی برش بزنی.

وقتی ۱ کیلوگرم چای به ۵ بسته مساوی تبدیل می‌شود، طبیعتاً برای ۴ کیلوگرم چای، این الگو ۴ بار تکرار خواهد شد. محاسبه کل این قسمت‌های کوچک به سادگی با عملیات ضرب (\(4 \times 5 = 20\)) انجام می‌شود. این تجسم تصویری به زیبایی منطق پنهانِ تبدیلِ عمل تقسیم به ضرب را آشکار می‌کند و به تو اطمینان می‌دهد که مسیر محاسباتی‌ات کاملاً درست و معنادار است.

عبارت اول: \(4 \div \frac{1}{2}\)

مسئله: مادر ۴ عدد پیتزای کامل پخته است. اگر سهم هر نفر دقیقاً \(\frac{1}{2}\) پیتزا باشد، این ۴ پیتزا برای پذیرایی از چند نفر کافی است؟

محاسبه و توضیح مفهومی:

برای پیدا کردن جواب، باید بررسی کنیم که در ۴ مقدار کامل، چند تا نیمه (\(\frac{1}{2}\)) وجود دارد. طبق قانون تقسیم کسرها، عدد اول را ثابت نگه می‌داریم، علامت تقسیم را به ضرب تبدیل کرده و کسر دوم را معکوس می‌کنیم:

\(4 \div \frac{1}{2} = 4 \times \frac{2}{1} = 4 \times 2 = 8\)

بنابراین، این پیتزاها برای ۸ نفر کافی است. اگر در ذهن خود تجسم کنی، وقتی هر ۱ پیتزا به ۲ قسمت تقسیم می‌شود تا به هر نفر نصف پیتزا برسد، برای ۴ پیتزا این برش زدن‌ها تکرار می‌شود و در عمل تعداد قطعات را با ضرب کردنِ \(4 \times 2\) به دست می‌آوری.

عبارت دوم: \(\frac{1}{3} \div 6\)

مسئله: تنها \(\frac{1}{3}\) از یک زمین کشاورزی برای کاشت بذر آماده شده است. اگر کشاورز بخواهد این قسمت آماده‌شده را بین ۶ نوع بذر مختلف به طور مساوی تقسیم کند، به هر نوع بذر چه کسری از کل زمین می‌رسد؟

محاسبه و توضیح مفهومی:

در این شرایط می‌خواهیم کسر \(\frac{1}{3}\) را به ۶ قسمت کاملاً مساوی تقسیم کنیم. همان‌طور که می‌دانی، تقسیم کردن یک مقدار بر عدد ۶، دقیقاً به معنای پیدا کردن \(\frac{1}{6}\) از آن مقدار است (کسری از یک کسر دیگر). پس عمل تقسیم را به ضرب در کسر معکوس تبدیل می‌کنیم:

\(\frac{1}{3} \div 6 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1 \times 1}{3 \times 6} = \frac{1}{18}\)

در نتیجه، به هر نوع بذر \(\frac{1}{18}\) از کل زمین کشاورزی اختصاص می‌یابد. از نظر تصویری، اگر آن یک‌سومِ زمین را به ۶ نوار باریک تقسیم کنی، برای حفظ تناسب باید کل زمین را به همین شکل برش بزنی که در نهایت ۱۸ قطعه کوچک و مساوی خواهی داشت و سهم هر بذر، یکی از این ۱۸ قطعه خواهد بود.

الف تحلیل و محاسبه \(\frac{1}{6} \div 2\)

تقسیم کردن یک کسر بر عدد ۲، از نظر مفهومی به معنای پیدا کردن نصفِ آن کسر (یعنی \(\frac{1}{2}\) از آن مقدار) است. برای محاسبه دقیق، طبق قوانین ریاضی، کسر اول را می‌نویسیم و سپس عملیات تقسیم را به ضربِ در کسر معکوسِ عدد دوم تبدیل می‌کنیم:

\(\frac{1}{6} \div 2 = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1 \times 1}{6 \times 2} = \frac{1}{12}\)

از نظر منطقی، وقتی مقداری را بین ۲ نفر تقسیم می‌کنی، سهم هر نفر باید از مقدار اولیه کوچک‌تر شود \(\frac{1}{{12}})\) بسیار کوچک‌تر از \(\frac{1}{6}\) است). در عبارتی که پاسخ را \(\frac{1}{3}\) به دست آورده، مخرج کسر به اشتباه بر ۲ تقسیم شده است که این کار برخلاف اصول ریاضی، باعث بزرگ‌تر شدنِ غیرمنطقیِ مقدار نهایی می‌شود. در نتیجه، عبارت \(\frac{1}{6} \div 2 = \frac{1}{12}\) درست و عبارت \(\frac{1}{6} \div 2 = \frac{1}{3}\) نادرست است.

ب تحلیل و محاسبه \(4 \div \frac{1}{2}\)

این عبارت از ما می‌پرسد: «در ۴ واحد کامل، چند مقدار \(\frac{1}{2}\) (نیمه) وجود دارد؟» برای حل محاسباتی، عدد اول را ثابت نگه می‌داریم، علامت تقسیم را به ضرب تبدیل می‌کنیم و کسر دوم را معکوس می‌کنیم:

\(4 \div \frac{1}{2} = 4 \times \frac{2}{1} = \frac{4 \times 2}{1} = 8\)

تصویرسازی این مسئله بسیار روشن است: اگر ۴ نان کامل داشته باشی و هر کدام را از وسط نصف کنی (تقسیم به قطعاتِ یک‌دوم)، در مجموع ۸ قطعه نان خواهی داشت. عبارتی که حاصل را ۲ نشان می‌دهد، مفهوم تقسیم بر کسر را با تقسیم بر عدد صحیح (یعنی \(4 \div 2\)) اشتباه گرفته است. بنابراین، عبارت \(4 \div \frac{1}{2} = 8\) درست و عبارت \(4 \div \frac{1}{2} = 2\) نادرست است.

برای تحلیل این مسئله، بهترین استراتژی این است که سهم هر گروه را به عنوان یک زیرمسئله جداگانه محاسبه و تصویرسازی کنیم و در نهایت نتایج به دست آمده را با یکدیگر مقایسه کنیم.

گام اول: محاسبه سهم گروه سه نفره

در این گروه، ۱ کیک کامل بین ۳ نفر به طور مساوی تقسیم می‌شود. عبارت ریاضی این عملیات به این شکل است:

\(1 \div 3 = \frac{1}{3}\)

تصویرسازی ذهنی: یک کیک دایره‌ای را تصور کن که با برش‌های دقیق به ۳ قسمت کاملاً مساوی تقسیم شده است. سهم هر شخص در این گروه، دقیقاً یک قطعه یعنی \(\frac{1}{3}\) از کیک خواهد بود.

گام دوم: محاسبه سهم گروه هفت نفره

در این گروه، ۳ کیک کامل باید بین ۷ نفر تقسیم شود. عبارت ریاضی آن به این صورت نوشته می‌شود:

\(3 \div 7 = \frac{3}{7}\)

تصویرسازی ذهنی: ۳ کیک هم‌اندازه را کنار هم بگذار. اگر هر کدام از این ۳ کیک را به ۷ قسمت مساوی برش بزنی، در مجموع ۲۱ قطعه کوچکِ هم‌اندازه خواهی داشت که اندازه هر قطعه \(\frac{1}{7}\) کیک است. حالا اگر این ۲۱ قطعه را بین ۷ نفر به طور مساوی تقسیم کنی (\(21 \div 7 = 3\))، به هر نفر ۳ قطعه می‌رسد. قرار گرفتن این ۳ قطعه در کنار هم، دقیقاً کسر \(\frac{3}{7}\) را می‌سازد.

گام سوم: مقایسه کسرها

حالا باید دو سهم به دست آمده، یعنی کسرهای \(\frac{1}{3}\) و \(\frac{3}{7}\) را با هم مقایسه کنیم. برای اینکه مقایسه دقیق و منطقی باشد، باید مخرج کسرها را یکسان کنیم (مخرج مشترک بگیریم). مخرج مشترک برای اعداد ۳ و ۷، حاصل‌ضرب آن‌ها یعنی عدد ۲۱ است:

• معادل‌سازی سهم گروه سه نفره:

\(\frac{1}{3} = \frac{1 \times 7}{3 \times 7} = \frac{7}{21}\)

• معادل‌سازی سهم گروه هفت نفره:

\(\frac{3}{7} = \frac{3 \times 3}{7 \times 3} = \frac{9}{21}\)

با مقایسه این دو کسر هم‌مخرج، به وضوح می‌بینیم که کسر \(\frac{9}{21}\) از کسر \(\frac{7}{21}\) بزرگ‌تر است (\(\frac{9}{21} > \frac{7}{21}\)). در نتیجه، به افراد گروه هفت نفره سهم بیشتری از کیک می‌رسد.

تجزیه مسئله به بخش‌های کوچک‌تر و استفاده از مخرج مشترک برای مقایسه، ابزاری است که به تو اجازه می‌دهد منطق پنهان اعداد را با شفافیت کامل ببینی.

برای بررسی این موضوع، بهترین استراتژی این است که هر دو عبارت را هم از نظر مفهومی و هم از نظر محاسباتی به طور کاملاً مستقل تحلیل کنیم.

تحلیل عبارت اول: \(3 \div \frac{1}{2}\)

این عبارت در دنیای واقعی از ما می‌پرسد: «در ۳ واحد کامل، چند تا نیمه (یک‌دوم) وجود دارد؟» اگر ۳ سیب کامل داشته باشی و هر کدام را از وسط نصف کنی، در نهایت ۶ قطعه سیب خواهی داشت. از نظر محاسباتی، طبق قانون تقسیم، عدد اول را ثابت نگه می‌داریم و در معکوس کسر دوم ضرب می‌کنیم:

\(3 \div \frac{1}{2} = 3 \times \frac{2}{1} = 6\)

تحلیل عبارت دوم: \(\frac{1}{2} \div 3\)

اما این عبارت مفهوم کاملاً متفاوتی دارد و می‌گوید: «اگر نصف یک واحد (یک‌دوم) را بین ۳ نفر به طور مساوی تقسیم کنیم، به هر نفر چقدر می‌رسد؟» اگر نصف یک سیب را به ۳ قسمت مساوی برش بزنی، قطعات بسیار کوچکی به دست می‌آید. از نظر محاسباتی، کسر اول را می‌نویسیم و در معکوس عدد دوم ضرب می‌کنیم:

\(\frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1 \times 1}{2 \times 3} = \frac{1}{6}\)

با مقایسه این دو نتیجه، یعنی عدد کامل ۶ (نشان‌دهنده ۶ قطعه بزرگ) و کسر کوچک \(\frac{1}{6}\) (نشان‌دهنده یک قطعه بسیار کوچک از یک واحد کامل)، به روشنی مشخص می‌شود که حاصل این دو عبارت با یکدیگر مساوی نیست. این تصویرسازی و محاسبه دقیق به ما یک اصل مهم ریاضی را یادآوری می‌کند: در عملیات تقسیم، برخلاف ضرب و جمع، خاصیت جابه‌جایی وجود ندارد و تغییر دادن جای اعداد، مفهوم مسئله و در نتیجه پاسخ نهایی را به طور کامل دگرگون می‌کند.