جواب تمرین صفحه 39 درس 2 هندسه دوازدهم (آشنایی با مقاطع مخروطی)

الف مکان هندسی نقطه ای از صفحه اکه از دو خط متقاطع \(d\) و \(d'\) به یک فاصله است. دو خط عمود بر هم می باشد که هر یک از آن ها نیمساز زاویه ی دو خط \(d\) و \(d'\) است.

ب مکان هندسی مرکز دایره ای که در نقطه \(A\) بر خط \(d\) مماس است. خطی که در نقطه \(A\) بر \(d\) عمود می باشد.

پ مکان هندسی مرکز دایره ای به شعاع \(r\) که در صفحه بر خط \(d\) مماس است، دو خط موازی با خط \(d\) می باشد که فاصله هر یک از آن ها از \(d\) مساوی \(r\) است.

ت مکان هندسی مرکز دایره ای به شعاع \(r\) که بر دایره ی \(C(O,r)\) مماس خارج است، دایره ی \(C(O,2r)\) می باشد.

کافی است محل تقاطع عمودمنصف های دو پاره خط \(CD\) و \(AB\) را تعیین کنیم.

بحث: اگر \(AB||CD\) عمودمنصف های این دو پاره خط، یکدیگر را فقط در یک لحظه قطع می کنند و مسأله در این حالت فقط یک جواب دارد.

ولی اگر \(AB||CD\) عمود منصف های این دو پاره خط، موازی اند و مسأله در این حالت فقط هیچ جوابی جواب ندارد.

کافی است محل تقاطع عمود منصف پاره خط \(AB\) و دایره ای به مرکز \(C\) و شعاع را 3 تعیین کنیم.

بحث:

فرض کنیم \(d\) عمودمنصف پاره خط \(AB\) است؛ اگر \(CH\) فاصله \(C\) تا خط \(d\) باشد، سه حالت زیر را به تفکیک بررسی می کنیم.

الف اگر \(CH<3\) ، در این حالت خط \(d\) دایره را در 2 نقطه قطع می کند و مسأله دو جواب دارد.

ب اگر \(CH=3\) ، در این حالت خط \(d\) بر دتیره مماس و دایره را در 1 نقطه قطع می کند؛ لذا مسأله فقط یک جواب دارد.

ج اگر \(CH>3\) ، در این حالت خط \(d\) ، دایره را قطع نمی کند و مسأله هیچ جوابی ندارد.

مکان هندسی نقطه ای که از \(A\) به فاصله 2 باشد، دایره ای به مرکز \(A\) و شعاع 2 است و مکان هندسی نقطه ای که از خط \(d\) به فاصله 3 باشد، دو خط \(l\) و \(l'\) موازی با خط \(d\) است که فاصله هر یک از آن ها از \(d\) مساوی 3 است. محل تقاطع این دو مکان هندسی پاسخ مسأله می باشد.

بحث:

فرض کنیم \(AH\) فاصله \(A\) تا خط \(d\) باشد. با توجه به اندازه شعاع دایره و مکان نقطه \(A\) یکی از حالت های زیر رخ می دهد:

الف اگر \(1 ، (\(3-2=1\) ، \(3+2=5\)) خط \(l\) (یا خط \(l'\)) دایره را در دونقطه قطع می کند و مسأله دارای دو جواب است:

ب اگر \(AH=5\) یا \(AH=1\) ، خط \(l\) (یا خط \(l'\)) دایره را در یک نقطه قطع می کند و مسأله دارای یک جواب است:

پ اگر \(AH>5\) یا \(AH<1\) ، خط \(l\) (یا خط \(l'\)) دایره را در هیچ نقطه ای قطع نمی کند و مسأله جوابی ندارد:

مکان هندسی خواسته شده دو خط متقاطع می باشد.

الف اگر خط \(l\) با صفحه \(P\) موازی بوده و فاصله دو خط \(l\) و \(d\) بیشتر از فاصله خط \(l\) تا صفحه \(P\) باشد، سطح مقطع ایجاد شده سطح بین دو خط موازی است.

ب اگر خط \(l\) با صفحه \(P\) موازی بوده و فاصله دو خط \(l\) و \(d\) مساوی با فاصله خط \(l\) تا صفحه \(P\) باشد، سطح مقطع ایجاد شده فقط یک خط موازی با \(l\) است.

ج اگر خط \(l\) بر صفحه \(P\) عمود باشد، سطح مقطع ایجاد شده سطح یک دایره است.

د اگر خط \(l\) بر صفحه \(P\) عمود متقاطع بوده ولی بر هم عمود نباشند، سطح مقطع ایجاد شده سطح یک بیضی است.