شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
ورقه ای فلزی و مستطیلی شکل به اضلاع a1و b1را درنظر بگیرید. بر اثر افزایش دمای LΔ طول اضلاع مستطیل به اندازه aΔو bΔ افزایش می یابند. اگر ضریب انبساط طولی ورقه آلفا باشد، نشان دهید که افزایش مساحت این ورقه با تقریب مناسب از رابطه زیر به دست می آید.
با استفاده از معادله (4_2) می توان تغییرات a و b را بدست آورد:
\(\begin{array}{l}\Delta a = a{a_1}\Delta T\\\\ \Rightarrow {a_2} = {a_1} + a{a_1}\Delta T\\\\ \Rightarrow {a_2} = {a_1}(1 + a\Delta T)\\\\\Delta b = a{b_1}\Delta T\\\\ \Rightarrow {b_2} = {b_1} + a{b_1}\Delta T\\\\ \Rightarrow {b_2} = {b_1}(1 + a\Delta T)\end{array}\)
مساحت ورقه پس از افزایش دما برابر a2b2 است و بنابراین داریم:
\(\begin{array}{l}{A_2} = {a_2}{b_2} = {a_1}(1 + a\Delta T){b_1}(1 + a\Delta T) = \\\\{a_1}{b_1}{(1 + a\Delta T)^2} = {a_1}{b_1}(1 + 2a\Delta T + {(a\Delta T)^2})\end{array}\)
با توجه به اینکه a معمولا از مرتبه 10-5 بر درجه سلسیوس است (جدول 4_1 را ببینید) و T∆ معمولا بیشتر از مرتبه 102درجه سلسیوس نیست، می توان نتیجه گرفت که جمله 2(αΔT) در مقایسه با جمله 2αΔT بسیار کوچک است و می شود از آن چشم پوشی کرد. از طرفی a1b1 همان مساحت اولیه ورقه است که آن را با A1 نشان می دهیم. بنابراین می توان نوشت:
\(\begin{array}{l}{A_2} = {A_1}(1 + 2a\Delta T)\\\\ \Rightarrow {A_2} - {A_1} = \Delta A = 2a{A_1}\Delta T\end{array}\)
1736019749.png)
