شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
بیضی مقابل را در نظر بگیرید. اندازهٔ پاره خط های OA، OB و OF را به ترتیب با a، b و c نمایش داده ایم. می دانیم که مجموع فواصل هر نقطه از بیضی، از دو کانون بیضی مقداری ثابت است.
1 می خواهیم نشان دهیم قطر بزرگ بیضی طولی برابر با همین مقدار ثابت دارد. در رسم بیضی، حالتی را در نظر بگیرید که نوک مداد روی نقطهٔ A قرار دارد. در این صورت:
مقدار ثابت = AF + AF' = AF + (AF + FF') = 2AF + FF' (1)
الف) به همین ترتیب فرض کنید نوک مداد روی نقطهٔ A' قرار دارد. در این صورت داریم:
مقدار ثابت = A'F' + A'F = ………………….. (2)
ب) از مقایسهٔ رابطهٔ (1) و (2) و برابری سمت چپ دو رابطه داریم: AF = ……
پس:
مقدار ثابت = AF + AF' = ….. + AF' = ……
بنابراین:
مجموع فواصل هر نقطه از بیضی، از دو کانون آن، مقدار ثابتی است که برابر است با طول قطر بزرگ بیضی.
سؤال: با توجه به تساوی AF=A'F' نشان دهید که مرکز بیضی قطر بزرگ آن را نصف می کند و از آن نتیجه بگیرید طول قطر بزرگ بیضی برابر 2a است.
الف
مقدار ثابت \( = {\rm{ }}A'F'{\rm{ }} + {\rm{ }}A'F{\rm{ }} = {\rm{ }}A'F' + (A'F' + FF') = 2A'F' + FF'\) (2)
ب
\(AF = A'F'{\rm{ }}\)
مقدار ثابت \( = {\rm{ }}AF{\rm{ }} + {\rm{ }}AF'{\rm{ }} = {\rm{ }}A'F'{\rm{ }} + {\rm{ }}AF'{\rm{ }} = {\rm{ }}2a\)
\(\left. \begin{array}{l}AF = OA - OF \Rightarrow OF = OA - AF\\\\A'F' = OA' - OF' \Rightarrow OF' = OA' - AF'\end{array} \right\}\)
FF' نقطه میانی پاره خط \(O\;\; \Rightarrow \;\;OA - AF = OA' - A'F'\)
بنابر فرض
{AF = A'F'}
\( \Rightarrow OA = OA' = a \Rightarrow AA' = OA + OA' = a + a = 2a\)
2 حال قصد داریم رابطهٔ بین a، b و c را پیدا کنیم.
الف نقطۀ B را مطابق شکل روی بیضی در نظر بگیرید. می دانیم این نقطه روی عمود منصف پاره خط FF' است. (چرا؟)
ب به کمک قسمت قبلی فعالیت، اندازهٔ BF را پیدا کنید.
پ چه رابطه ای بین a، b و c وجود دارد؟
ت آیا مرکز بیضی قطر کوچک را هم نصف می کند؟ چرا؟
الف وسطFF’ است از طرفی BB’ بر AA’ عمود است؛ پس نتیجه می گیریم که OB عمود منصف FF’ است.
ب هر نقطه روی عمودمنصف از دو سر پاره خط به یک فاصله است.
\(\left. \begin{array}{l}BF = BF'\\BF + BF' = 2a\end{array} \right\} \to BF = BF' = a\)
پ
\(B\mathop O\limits^\Delta F:\quad B{F^2} = O{B^2} + O{F^2} \Rightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2}\)
ت بله؛ می توان قسمت های الف و ب را برای قطر کوچک تحقیق کرد.
1736019749.png)
