شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 برای مجموعه های A و B با مرجع U ثابت کنید که \(A \subseteq A \cup B\).
اثبات:
\(\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}\forall x;(x \in A \Rightarrow x \in A \vee x \in B) \Rightarrow x \in A \cup B\\\end{array}\\{\forall x;(x \in A \Rightarrow x \in A \cup B) \Rightarrow A \subseteq A \cup B}\end{array}\)
بنابراین داریم:
درستی استدلال بالا را توضیح دهید.
اولاً کزاره \(x \in B\) می تواند درست یا نادرست باشد ولی با توجه به درستی گزاره \(x \in A\) ترکیب فصلی آن ها یعنی \(x \in A \vee x \in B\) درست می باشد. ثانیا در اثبات نشان داده شده که هر عضو درون A عضوی از \(A \cup B\) است. در نتیجه \(A \subseteq A \cup B\) خواهد بود.
2 فرض کنیم A و B و C و D چهار مجموعه با مرجع U باشند، ثابت کنید: اگر \(A \subseteq B\) و \(C \subseteq D\) آن گاه \(A \cup C \subseteq B \cup D\) .
اثبات: جاهای خالی را پر کنید:
\(\begin{array}{l}\forall x;[x \in (A \cup C)] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in A \Rightarrow \cdots \\ \vee \\ \cdots \,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,x \in D\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{(A \subseteq B)}\\ \vee \\{(C \subseteq D)}\end{array}\\\\ \Rightarrow x \in B\,\,\, \vee \,\,\,x \in D \Rightarrow \cdots \cdots \end{array}\)
\(\begin{array}{l}\forall x;[x \in (A \cup C)] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in A \Rightarrow x \in B\\ \vee \\x \in C\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,x \in D\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{(A \subseteq B)}\\ \vee \\{(C \subseteq D)}\end{array}\\\\ \Rightarrow x \in B\,\,\, \vee \,\,\,x \in D \Rightarrow x \in B \cup D\end{array}\)
بنابراین داریم:
\(\forall x;[x \in (A \cup C) \Rightarrow x \in (B \cup D)] \Rightarrow \cdots \cdots \)
\(\forall x;[x \in (A \cup C) \Rightarrow x \in (B \cup D)] \Rightarrow A \cup C \subseteq B \cup D\)
3 فرض کنیم A و B و C سه مجموعه با مرجع U باشند، ثابت کنید: اگر \(A \subseteq C\) و \(B \subseteq C\) آن گاه \((A \cup B) \subseteq C\)
راهنمایی: از ویژگی قسمت 2 استفاده کنید.
\(A \subseteq C\,,\,B \subseteq C \Rightarrow A \cup B \subseteq C \cup C \Rightarrow A \cup B \subseteq C\)
1736019749.png)
