گام به گام تمرین صفحه 14 درس 1 آمار و احتمال (آشنایی با مبانی ریاضیات)

<

<

(0 , 0)

\( \le \)

نیست

\( \pm \sqrt a \)

نقیض گزاره \(p \Rightarrow q\) هم ارز با \(p \wedge \sim q\) است؛ به عبارتی:

\( \sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q\)

بنابراین نقیض گزاره الف به صورت زیر می شود:

\({x^2} \ge x\) و \(x \in ( - \infty \,,\,0] \cup [1\,,\,\infty )\)

ابوالوفا محمد بوزجانی، ریاضی دان نیست.

\(a \notin \{ b\,,\,c\,,\,d\} \)

2 عددی فرد است و عدد \(\pi \) غیر گویاست.

\(\left. \begin{array}{l}(2 < 3) \equiv T\\\\(4 + 3 = 10) \equiv F\end{array} \right\} \Rightarrow (2 < 3) \wedge (4 + 3 = 10) \equiv F\)

بنابراین ارزش گزاره، نادرست است.

\(\left. \begin{array}{l}(5 > 3) \equiv T\\\\({( - 1)^2} + 1 = 0) \equiv F\end{array} \right\} \Rightarrow (5 > 3) \vee ({( - 1)^2} + 1 = 0) \equiv T\)

بنابراین ارزش گزاره، درست است.

\(\left. \begin{array}{l}(\frac{1}{2} \ne \frac{3}{6}) \equiv F\\\\(1 \in \{ 2\,,\,3\,,\,4\} ) \equiv F\end{array} \right\} \Rightarrow (\frac{1}{2} \ne \frac{3}{6}) \vee (1 \in \{ 2\,,\,3\,,\,4\} ) \equiv F\)

بنابراین ارزش گزاره، نادرست است.

گزاره «عدد 4 فرد باشد» نادرست است

گزاره «4 مربع کامل نیست» نادرست است

بنابراین:

\(\left. \begin{array}{l}p \equiv F\\\\q \equiv F\end{array} \right\} \Rightarrow (p \Rightarrow q) \equiv T\)

در نتیجه گزاره ت درست است.

گزاره «2 عدد اول نیست» نادرست است

گزاره «2 مربع کامل است» نادرست است

بنابراین:

\(\left. \begin{array}{l}p \equiv F\\\\q \equiv F\end{array} \right\} \Rightarrow (p \Leftrightarrow q) \equiv T\)

در نتیجه گزاره ث درست است.

\(\left. \begin{array}{l}2 > 3 \equiv F\\\\ - 2 < - 3 \equiv F\end{array} \right\} \Rightarrow (2 > 3 \Leftrightarrow - 2 < - 3) \equiv T\)

بنابراین ارزش گزاره، درست است.

گزاره را با نمادهای ریاضی می نویسیم:

\(a \in \{ b\} \Leftrightarrow a = b\)

گزاره اول با گزاره دوم مرتبط می باشد؛ پس در دو حالت بایستی ارزش گزاره کلی را بررسی نماییم:

حالت اول:

کزاره اول و دوم هر دو درست می باشند:

\(\left. \begin{array}{l}a \in \{ b\} \equiv T\\\\a = b \equiv T\end{array} \right\} \Rightarrow (a \in \{ b\} \Leftrightarrow a = b) \equiv T\)

در صورت درست بودن دو گزاره اول و دوم،گزاره کلی درست می باشد.

حالت دوم:

کزاره اول و دوم هر دو نادرست می باشند:

\(\left. \begin{array}{l}a \in \{ b\} \equiv F\\\\a = b \equiv F\end{array} \right\} \Rightarrow (a \in \{ b\} \Leftrightarrow a = b) \equiv F\)

در صورت نادرست بودن دو گزاره اول و دوم،گزاره کلی درست می باشد.

بنابراین \(p \Rightarrow p \equiv T\) می باشد.

بنابراین \(p \vee F \equiv p\) می باشد.

بنابراین \(p \wedge T \equiv p\) می باشد.

بنابراین \( \sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q\) می باشد.

بنابراین \(p \wedge (q \vee p) \equiv p\) می باشد.

بنابراین \(p \vee (q \wedge p) \equiv p\) می باشد.

بنابراین \(p \Rightarrow (q \Rightarrow r) \equiv (p \wedge q) \Rightarrow r\) می باشد.

بنابراین \( \sim (p \Leftrightarrow q) \equiv \sim p \Leftrightarrow q\) می باشد.

به جای اثبات این حکم، عکس نقیض آن را ثابت می کنیم. یعنی نشان می دهیم.

چنانچه n مضرب 3 نباشد، یعنی باقیمانده تقسیم آن بر 3 برابر 1 یا 2 است. به عبارت دیگر:

\(\begin{array}{l}n = 3k + 1 \Rightarrow {n^2} = 9{k^2} + 6k + 1 = 3(3{k^2} + 2k) + 1\\\\ \Rightarrow {n^2} = 3k' + 1\end{array}\)

در این حالت \({n^2}\) مضرب 3 نیست.

\(\begin{array}{l}n = 3k + 2 \Rightarrow {n^2} = 9{k^2} + 12k + 4 = 3(3{k^2} + 4k + 1) + 1\\\\ \Rightarrow {n^2} = 3k'' + 1\end{array}\)

در این حالت نیز \({n^2}\) مضرب 3 نیست.

در نتیجه حکم سوال برقرار است.

\(\forall a \in \mathbb{N}\,;\,(a \in E \vee a \in O)\)

درست است:

زیرا اگر عدد زوج باشد، فرد نخواهد بود و اگر عددی زوج نباشد فرد خواهد بود. در نتیجه در ترکیب فصلی یکی از گزاره ها درست و یکی نادرست است، پس در کل درست است.

\(\exists a \in W\,;\,{a^2} < 0\)

نادرست است:

زیرا عددی وجود ندارد که مربع آن منفی شود به عبارت دیگر مجموعه جواب آن تهی است.

\(\forall a \in P\,;\,a \in O\)

زیرا به عنوان مثال نقض، عدد 2 اول بوده ولی فرد نیست.

\(\exists x \in \mathbb{Z}\,;\,1 - 2x > 5\)

نادرست است:

زیرا \(1 - 2x > 5 \Rightarrow x < - 2\) ، یعنی x منفی است و هیچ عدد مثبتی در آن صدق نمی کند.

\(\forall a \in R - \{ 0\} \,;\,x + \frac{1}{x} \ge 2\)

نادرست است:

به عنوان نمونه x=-1 مثال نقض است زیرا \( - 1 + \frac{1}{{ - 1}} = - 2 < 2\)

\(\exists x \in R\,;\,{x^3} = x\)

درست است:

زیرا مجموعه جواب آن \(S = \{ - 1\,,\,0\,,\,1\} \) ناتهی است.

نادرست است:

\(x + 4 = 10 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow S = \{ \} \)

یعنی جوابی برای این گزاره وجود ندارد.

نادرست است:

زیرا \(x + 2 \le 9 \Rightarrow x \le 7 \Rightarrow S = \{ 1\,,\,2\,,\,3\,,\,4\,,\,5\} = A\) یعنی تمام اعضای دامنه تغییر جواب هستند.

درست است:

\(x + 3 \le 4 \Rightarrow x \le 1 \Rightarrow S = \{ 1\} \)

درست است:

\(x + 1 \ge 6 \Rightarrow x \le 5 \Rightarrow S = \{ 5\} \)

فقط برای یک عضو دامنه تغییر برقرار است و اعدادی مثل 1، 2، 3 و 4 مثال نقض برای آن می باشند.

نادرست است:

زیرا برای x=1 تساوری داده شده، تعریف نمی شود. نقیض گزاره:

\(\exists x \in \mathbb{R};\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} \ne x + 1\)

نادرست است:

در حالت n=5 عدد به دست آمده اول نیست؛ زیرا بر 641 بخش پذیر است. نقیض گزاره:

\(\exists n \in \mathbb{N};{2^{2n}} \notin P\)

نادرست است:

به عنوان نمونه x=-1 مثال نقض است؛ زیرا \( - 1 - \frac{1}{{ - 1}} = 0 > - 2\). نقیض گزاره:

\(\exists n \in ( - \infty \,,\,0);x - \frac{1}{x} > - 2\)

درست است:

زیرا مجموعه جواب آن S={3} ناتهی است. نقیض گزاره:

\(\forall y \in \mathbb{R};\frac{{y - 3}}{5} \ne 0\)