شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
اگر A و B دو مجموعهٔ دلخواه باشند، در این صورت:
\(A \times \emptyset = \emptyset \times A = \emptyset \) الف
\(A \times B = B \times A \Rightarrow A = \emptyset \vee B = \emptyset \vee A = B\) ب
اثبات الف) از برهان خلف استفاده می کنیم:
فرض کنیم: \(A \times \emptyset \ne \emptyset \) (فرض خلف) در این صورت، حداقل یک عضو مانند (x , y) در ............... باید وجود داشته باشد که در این صورت:
\(A \times \emptyset \ne \emptyset \)
و چون \(y \in \emptyset \) یک تناقض است (مجموعۀ \(\emptyset \) فاقد عضو است) پس فرض خلف، باطل شده است و حکم برقرار می باشد، به طریق مشابه ثابت کنید که \(\emptyset \times A = \emptyset \) .
فرض کنیم: \(\emptyset \times A \ne \emptyset \) (فرض خلف) در این صورت، حداقل یک عضو مانند (x , y) در \(\emptyset \times A \ne \emptyset \) باید وجود داشته باشد که در این صورت:
و چون \(x \in \emptyset \) یک تناقض است (مجموعۀ \(\emptyset \) فاقد عضو است) پس فرض خلف، باطل شده است و حکم برقرار می باشد. در نتیجه داریم:
\(A \times \emptyset = \emptyset \times A = \emptyset \)
اثبات ب) اگر \(A = \emptyset \) یا \(B = \emptyset \) که حکم اثبات می شود.
حال فرض کنیم: \(A \ne \emptyset \) و \(B \ne \emptyset \) که در این صورت، به روش عضوگیری و با توجه به تعریف ضرب دکارتی و فرضِ \(A \times B = B \times A\) ، ثابت می کنیم A=B.
(xای که از A فرض کردیم ثابت شد در B است و yای که از B فرض کردیم ثابت شد در A است.)
1736019749.png)
