شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
گزارهٔ «علی به مدرسه رفت» را در نظر بگیرید و نقیض آن را در زیر بنویسید.
علی به مدرسه نرفت.
معمولاً برای نقیض کردن یک گزاره، فعل آن را منفی می کنند. اکنون گزاره زیر را در نظر بگیرید و نقیض آن را بنویسید.
هر آسیایی، ایرانی است.
بعضی از آسیایی ها، ایرانی نیستند
در زبان طبیعی معمولا این اشتباه رخ می دهد که برای نوشتن نقیض این گزاره، فقط فعل آن را منفی می کنند و می نویسند:
هر آسیایی، ایرانی نیست.
همان طور که ملاحظه می کنید، ارزش دو گزارهٔ قبل («هر آسیایی، ایرانی است» و «هر آسیایی، ایرانی نیست») نادرست است و این غیر ممکن است (چرا؟) بنابراین، جملهٔ دوم نمی تواند نقیض جملهٔ اوّل باشد.
زیرا ایران جزو آسیا است و هر ایرانی، آسیایی هست. در گزاره اول هر آسیایی را یک ایرانی در نظر گرفته که ما می دانیم یک فرد از چین، ایرانی نیست و همچنین در گزاره دوم که نادرست است، این طور در نظر گرفته که ایران جزو آسیا نیست.
برای رفع این مشکل؛ فرض کنیم A مجموعه مردمان آسیا و ایرانی بودن x را با P(x) نمایش دهیم؛ بنابراین، گزارهٔ «هر آسیایی، ایرانی است» به صورت \(\forall x \in A;P(x)\) بیان می شود.
چون ارزش این گزاره «\(\forall x \in A;P(x)\)» نادرست است، پس ارزش گزارهٔ نقیض آن، یعنی \( \sim (\forall x \in A;P(x))\) باید درست باشد. از آنجا که ارزش گزارهٔ \((\forall x \in A;P(x))\) نادرست است، پس وجود دارد \(x \in A\) به طوری که P(x) نادرست است؛ بنابراین ارزش \( \sim P(x)\) درست می باشد، در نتیجه ارزش گزارهٔ \(\exists x \in A; \sim P(x)\) درست است و ارزش این گزاره با ارزش گزارهٔ \( \sim (\forall x \in A;P(x))\) یکسان است، بنابراین داریم:
\( \sim (\forall x;P(x)) \equiv \exists x; \sim P(x)\)
در این صورت، نقیض گزارهٔ «هر آسیایی، ایرانی است» به صورت زیر است:
«بعضی از آسیایی ها، ایرانی نیستند»
به همین ترتیب می توان نقیض گزاره ای را که سور وجودی دارد، به صورت زیر نوشت:
\( \sim (\exists x;P(x)) \equiv \forall x; \sim P(x)\)
1736019749.png)
