جواب نقیض گزاره های سوری صفحه 13 درس 1 آمار و احتمال یازدهم ریاضی (آشنایی با مبانی ریاضیات)

گزارهٔ «علی به مدرسه رفت» را در نظر بگیرید و نقیض آن را در زیر بنویسید.

معمولاً برای نقیض کردن یک گزاره، فعل آن را منفی می کنند. اکنون گزاره زیر را در نظر بگیرید و نقیض آن را بنویسید.

هر آسیایی، ایرانی است.

در زبان طبیعی معمولا این اشتباه رخ می دهد که برای نوشتن نقیض این گزاره، فقط فعل آن را منفی می کنند و می نویسند:

هر آسیایی، ایرانی نیست.

همان طور که ملاحظه می کنید، ارزش دو گزارهٔ قبل («هر آسیایی، ایرانی است» و «هر آسیایی، ایرانی نیست») نادرست است و این غیر ممکن است (چرا؟) بنابراین، جملهٔ دوم نمی تواند نقیض جملهٔ اوّل باشد.

برای رفع این مشکل؛ فرض کنیم A مجموعه مردمان آسیا و ایرانی بودن x را با P(x) نمایش دهیم؛ بنابراین، گزارهٔ «هر آسیایی، ایرانی است» به صورت \(\forall x \in A;P(x)\) بیان می شود.

چون ارزش این گزاره «\(\forall x \in A;P(x)\)» نادرست است، پس ارزش گزارهٔ نقیض آن، یعنی \( \sim (\forall x \in A;P(x))\) باید درست باشد. از آنجا که ارزش گزارهٔ \((\forall x \in A;P(x))\) نادرست است، پس وجود دارد \(x \in A\) به طوری که P(x) نادرست است؛ بنابراین ارزش \( \sim P(x)\) درست می باشد، در نتیجه ارزش گزارهٔ \(\exists x \in A; \sim P(x)\) درست است و ارزش این گزاره با ارزش گزارهٔ \( \sim (\forall x \in A;P(x))\) یکسان است، بنابراین داریم:

\( \sim (\forall x;P(x)) \equiv \exists x; \sim P(x)\)

در این صورت، نقیض گزارهٔ «هر آسیایی، ایرانی است» به صورت زیر است:

«بعضی از آسیایی ها، ایرانی نیستند»

به همین ترتیب می توان نقیض گزاره ای را که سور وجودی دارد، به صورت زیر نوشت:

\( \sim (\exists x;P(x)) \equiv \forall x; \sim P(x)\)