جواب تمرین های ترکیبی صفحه 136 درس 8 ریاضی هشتم (آمار و احتمال)

1 دسته بندی داده ها

مقادیر بسیار را که می خواهیم مورد ارزیابی و آزمایش قرار دهیم را دسته بندی می کنیم. به این نوع دسته بندی، دسته بندی داده ها می گوییم؛ مثلاً دسته بندی قد دانش آموزان یک کلاس در دسته های کوتاه قد، قد متوسط و بلند قد.

2 مرکز دسته

میانگین مقادیر بزرگترین عدد و کوچکترین عدد در هر بازه را مرکز دسته گویند؛ مثلاً دسته زیر را در نظر بگیرید:

\(:135 \le x < 150\) دسته

\(:\bar x = \frac{{135 + 150}}{2} = 142/5\) مرکز دسته

3 فراوانی

تعداد مقادیری که در یک دسته قرار می گیرند؛ مثلاً تعداد اعداد اول تک رقمی در دسته اعداد تک رقمی برابر 4 است.

4 میانگین

حد وسط دو عدد؛ مثلا میانگین 3 و 5 برابر 4 است:

\(\bar x = \frac{{3 + 5}}{2} = 4\)

5 آمار

علمی در مورد مطالعه و بررسی یک گروه و یا دسته ای خاص که دارای ویژگی خاصی هستند؛ مثلاً مطالعه بر روی قد دانش آموزان یک کلاس.

6 حالت های هم شانس

حالت هایی که در آن احتمال پیشامد آن حالت ها با هم برابرند؛ مثلاً احتمال رو آمدن و احتمال پشت آمدن یک سکه با هم برابرند، لذا به حالت های رو آمدن و پشت آمدن یک سکه، حالت های هم شانس می گویند.

7 احتمال

میزان شانس رخ دادن یک حادثه یا یک حالت را احتمال می گویند که همواره مقداری بین صفر و یک دارد؛ مثلاً احتمال رو آمدن یک سکه برابر \(\frac{1}{2}\) است.

8 جدول حالت های ممکن

جدولی که در آن تمام حالت های ممکن  یک اتفاق آمده است؛ مثلاً تمام حالت های ریختن دو تاس با هم در جدول زیر آمده است.

9 نمودار درختی

نموداری که در آن تمام حالت های ممکن یک اتفاق آمده است؛ مثلاً نمودار درختی حالت های انداختن یک سکه به صورت زیر آمده است:

1 دسته بندی داده های زیاد و پراکنده

همه داده ها را در دسته بندی هایی که مشخص کرده ایم، قرار می دهیم و آن ها را دسته بندی می کنیم؛ مثلاً دسته بندی قد دانش آموزان یک کلاس در دسته های کوتاه قد، کمی کوتاه قد، قد متوسط، کمی بلند قد و بلند قد.

2 محاسبهٔ میانگین داده های دسته بندی شده

برای محاسبه ابتدا میانگین هر دسته را بدست می آوریم. سپس فراوانی هر دسته را در میانگین هر دسته ضرب کرده و همه را با هم جمع می کنیم و در نهایت بر تعداد کل داده ها تقسیم می کنیم.

\( = \frac{{516}}{{44}} \simeq 11/73\) میانگین

3 پیدا کردن احتمال یک پیشامد

برای یافتن احتمال یک پیشامد، تعداد تمام حالت های ممکن برای این پیشامد را محاسبه کرده و بر تعداد کل تقسیم می کنیم؛ به عنوان مثال، بعد از انداختن تاس، عدد زوج ظاهر می شود:

6 ، 4 ، 2 = اعداد زوج

3 = تعداد اعداد زوج

\( = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) احتمال

4 یافتن همه حالت های ممکن به کمک جدول

به این علت که تمام حالت های همه پیشامدها در جدول نوشته می شود، در جدول به دنبال آن حالت هایی می گردیم که آن ویژگی مورد نظر پیشامد را دارا باشند؛ مثلاً جدول زیر تمام حالت های ریختن دو تاس آمده است و ما می خواهیم که تمام حالت هایی را پیدا کنیم که در دو تاس اعداد 5 و 3 ظاهر شوند:

«3 – 5» و «5 – 3» = حالت های ممکن

5 یافتن همه حالت های ممکن به کمک نمودار درختی

به این علت که تمام حالت های همه پیشامدها در نمودار درختی نوشته می شود، در نمودار به دنبال آن حالت هایی می گردیم که آن ویژگی مورد نظر پیشامد را دارا باشند؛ مثلاً نمودار درختی زیر تمام حالت های انداختن دو سکه آمده و ما می خواهیم حالت های این پیشامد که هر دو رو می آیند را مشخص کنیم:

\(0 \le x < 10 \Rightarrow \)مرکز دسته \(:\,\,\,\bar x = \frac{{0 + 10}}{2} = 5\)

 \(10 \le x < 20 \Rightarrow \)مرکز دسته \(:\,\,\,\bar x = \frac{{10 + 20}}{2} = 15\)

 \(20 \le x < 30 \Rightarrow \)مرکز دسته \(:\,\,\,\bar x = \frac{{20 + 30}}{2} = 25\)

 \(30 \le x \le 40 \Rightarrow \)مرکز دسته \(:\,\,\,\bar x = \frac{{30 + 40}}{2} = 35\)

\(\bar x = \frac{{5 \times 6 + 15 \times 10 + 25 \times 8 + 35 \times 6}}{{30}} = \frac{{590}}{{30}} \simeq 186/3\)

الف

(4 ، 1) و (3 ، 1) و (2 ، 1) و (1 ، 1)} = تعدادی از حالت های ممکن

{(4 ، 5) و (5 ، 3) و (6 ، 1) و (5 ، 1) و

ب

{(1 ، 1)} = حالت مورد نظر

\( = \frac{1}{{36}}\) احتمال