جواب مرور فصل 2 صفحه 28 درس 2 ریاضی هشتم (عددهای اول)

1 نمودار درختی

نمودار درختی یک روش تصویری برای تجزیه کردن یک عدد به شمارنده‌های اول آن است. در این روش، عدد اصلی را در بالا می‌نویسیم و آن را به صورت ضرب دو عدد دیگر مانند شاخه‌های یک درخت رسم می‌کنیم. این کار را تا جایی ادامه می‌دهیم که همهٔ شاخه‌ها به عددهای اول ختم شوند.

مثال:

برای تجزیهٔ عدد ۱۲، آن را به دو شاخهٔ ۲ و ۶ تقسیم می‌کنیم. چون ۲ اول است، شاخه‌اش تمام می‌شود. سپس ۶ را به دو شاخهٔ ۲ و ۳ تقسیم می‌کنیم. چون این دو عدد هم اول هستند، کار تمام می‌شود. در نهایت، شمارنده‌های اول ۱۲ عبارتند از: ۲، ۲ و ۳

2 عدد مرکب

به هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک که بتوان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی دیگر (که هیچ‌کدام یک نباشند) نوشت، عدد مرکب می‌گویند. در واقع، اعداد مرکب برخلاف اعداد اول، بیش از دو شمارنده دارند.

مثال:

عدد ۲۴ یک عدد مرکب است، چون می‌توان آن را به صورت 6 × 4 یا 3 × 8 نوشت.

3 نسبت به هم اول

دو عدد را «نسبت به هم اول» می‌گوییم اگر بزرگ‌ترین شمارندهٔ مشترک آن‌ها (ب.م.م) عدد یک باشد. نکتهٔ مهم این است که این دو عدد لزوماً خودشان اول نیستند.

مثال: عددهای ۸ و ۹ هر دو مرکب هستند، اما چون هیچ شمارندهٔ مشترکی به جز ۱ ندارند، نسبت به هم اول هستند.

4 روش غربال

روش غربال یک الگوریتم هوشمندانه برای پیدا کردن تمام عددهای اول تا یک عدد مشخص است. در این روش، ابتدا تمام اعداد را می‌نویسیم، سپس عدد ۱ را خط می‌زنیم و بعد به ترتیب مضرب‌های مرکب اعداد اول (مانند ۲، ۳، ۵ و ...) را حذف می‌کنیم. اعدادی که در نهایت خط نخورده باقی می‌مانند، عددهای اول هستند.

مثال:

برای پیدا کردن اعداد اول تا ۵۰، ابتدا ۱ را خط می‌زنیم. سپس مضرب‌های ۲ (۴، ۶، ۸، ...) را خط می‌زنیم. بعد مضرب‌های ۳ (۶، ۹، ۱۲، ...) را خط می‌زنیم و همین‌طور ادامه می‌دهیم.

1 پیدا کردن عددهای اول با روش های تقسیم، ضرب و بخش پذیری

این روش‌ها به تعریف اصلی عدد اول برمی‌گردند. برای اینکه بفهمیم یک عدد اول است، آن را بر عددهای طبیعی کوچک‌تر از خودش (به‌ویژه عددهای اول) تقسیم می‌کنیم. اگر به جز خودش و عدد یک، هیچ شمارندهٔ دیگری نداشت، آن عدد اول است.

مثال: آیا عدد ۱۳ اول است؟ ما ۱۳ را بر عددهای اول کوچک‌تر از آن تقسیم می‌کنیم. ۱۳ بر ۲، ۳، ۵ و ۷ بخش‌پذیر نیست. چون شمارندهٔ دیگری پیدا نکردیم، نتیجه می‌گیریم که ۱۳ اول است.

2 تشخیص عددهای اول و مرکب

این مهارت یعنی بتوانی با توجه به تعریف، تفاوت این دو نوع عدد را مشخص کنی. عدد اول فقط دو شمارنده دارد (یک و خودش)، اما عدد مرکب عددی است که می‌توان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک نوشت.

مثال: عدد ۱۵ را در نظر بگیر. چون می‌توانیم آن را به صورت ۳×۵ بنویسیم، پس مرکب است. اما عدد ۲، فقط به صورت ۱×۲ نوشته می‌شود، پس اول است.

3 تعیین عددهای اول به کمک روش غربال

روش غربال یک الگوریتم هوشمندانه برای پیدا کردن تمام عددهای اول تا یک عدد مشخص است. در این روش، اعداد را می‌نویسیم و به ترتیب، مضرب‌های مرکبِ اعداد اول را خط می‌زنیم.

مثال: برای پیدا کردن اعداد اول تا ۲۰ با روش غربال:

الف اعداد ۱ تا ۲۰ را می‌نویسیم.

ب عدد ۱ را خط می‌زنیم.

پ مضرب‌های مرکب ۲ (یعنی ۴, ۶, ۸, ۱۰, ۱۲, ۱۴, ۱۶, ۱۸, ۲۰) را خط می‌زنیم.

ت مضرب‌های مرکب ۳ (یعنی ۹, ۱۵) را خط می‌زنیم.

ث اعداد باقی‌مانده (۲, ۳, ۵, ۷, ۱۱, ۱۳, ۱۷, ۱۹) اعداد اول هستند.

4 دنبال کردن یک دستورالعمل و نمودار

این یک مهارت کلیدی در ریاضیات است که یعنی بتوانی یک فرآیند الگوریتمی را مرحله به مرحله اجرا کنی. کتاب برای نمایش الگوریتم غربال از یک نمودار (فلوچارت) استفاده کرده است.

مثال: فرض کن طبق نمودار غربال در کتاب، می‌خواهیم مضرب‌های عدد خط‌نخوردهٔ بعدی (مثلاً ۳) را خط بزنیم. نمودار از ما می‌پرسد آیا مربع این عدد (یعنی ۹) در میان اعداد ما هست؟ اگر پاسخ «بله» باشد، به مرحلهٔ بعد یعنی «مضرب‌های بزرگ‌تر از خودش را خط بزنید» می‌رویم.

5 تعیین اینکه یک عدد، اول یا مرکب است

این مهارت، ترکیبی از روش‌های بالاست و برای مشخص کردن وضعیت یک عدد به کار می‌رود. برای یک عدد مشخص (مثلاً ۹۷)، آن را بر اعداد اولی تقسیم می‌کنیم که مربعشان از آن عدد کوچک‌تر باشد.

مثال: آیا عدد ۹۷ اول است یا مرکب؟

اعداد اولی که مربعشان از ۹۷ کمتر است: ۲, ۳, ۵, ۷ ( \({11^2} = 121\)  که بزرگ‌تر است).

97 را بر این اعداد تقسیم می‌کنیم.

چون ۹۷ بر هیچ‌کدام از اعداد ۲, ۳, ۵ و ۷ بخش‌پذیر نیست، نتیجه می‌گیریم که اول است.

\(\begin{array}{l}2 \times 3 = 6\\\\2 \times 5 = 10\end{array}\)

خیر؛ زیرا شمارنده عدد 2 مشترک بین دو عدد است؛ یعنی (6 , 10) = 2

با خط زدن، مضرب های عدد 2 شروع و با خط زدن مضرب های عدد 5 پایان می دهیم.

بله؛ زیرا \(\sqrt {137} \simeq 11\) می باشد و عدد 137 بر اعداد اول 2، 3، 5، 7 و 11 بخش پذیر نمی باشد؛ پس عدد اول است.

برای این سوال می توان پاسخ های زیادی نوشت. در زیر، به چند نمونه بسنده کرده ایم:

\(\begin{array}{l}(8\,,\,9) = 1\\\\(9\,,\,10) = 1\\\\(14\,,\,15) = 1\\\\(99\,,\,100) = 1\end{array}\)