شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
چند ضلعی را محاطی می گوییم اگر و فقط اگر دایره ای باشد که از همه رئوس آن بگذرد؛ در این صورت دایره را دایرۀ محیطی آن چند ضلعی می نامیم.
به طور مثال ABCDE یک پنج ضلعی محاطی است.
می دانیم برای اینکه دایره ای از دو نقطه بگذرد، باید مرکز آن روی عمود منصف پاره خطی باشد که آن دو نقطه دو سر آن است؛ بنابراین:
یک چند ضلعی، محاطی است اگر و فقط اگر عمود منصف های همه ضلع های آن در یک نقطه همرس باشند.
این نقطه مرکز دایره محیطی چند ضلعی است. چرا؟
چند ضلعی را محیطی می گوییم اگر و فقط اگر دایره ای باشد که بر همه ضلع های آن مماس باشد؛ در این صورت دایره را دایرۀ محاطی این چند ضلعی می نامیم.
فرض: چند ضلعی محاطی است.
حکم: عمودمنصف های هر ضلع آن در یک نقطه همرسند.
اثبات: با توجه به تعریف چند ضلعی محاطی و فرض واضح است که فاصله ی همه رأس های چند ضلعی تا مرکز دایره به یک اندازه است (شعاع دایره) در نتیجه بنابر خاصیت عمودمنصف، فاصله مرکز دایره از دو سر هر ضلع به یک فصله است (شعاع دایره)، پس مرکز دایره روی عمودمنصف های این اضلاع قرار دارد. در نتیجه عمود منصف های همه ضلع های آن در یک نقطه (مرکز دایره) همرسند.
فرض: عمودمنصف های همه ضلع های چند ضلعی در یک نقطه همرسند.
حکم: چند ضلعی محاطی است.
اثبات: با توجه به فرض و خاصیت عمود منصف، همه رأس های چندضلعی از نقطه همرسی عمودمنصف ها به یک فاصله اند و در نتیجه این نقاط بنابر تعریف دایره، روی دایره ای به شعاع این فاصله ثابت قرار دارند و بنابر تعریف چندضلعی محاطی، این چندضلعی محاطی است.
1736019749.png)
