شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 فرض کنیم خط d بر دایرۀ C در نقطۀ F مماس است.
الف نزدیک ترین نقطهٔ خط d به نقطۀ O کدام است؟ چرا؟
ب از O به d عمود کنید. این خط عمود، خط d را در کدام نقطه قطع می کند؟ چرا؟
پ نتیجه: اگر F نقطه ای روی دایره باشد، شعاع OF و خط مماس بر دایره در نقطۀ F ............ .
الف
نزدیک ترین نقطه خط d به نقطه O، نقطه F است. می دانیم OF=R و هر نقطه از خط d خارج دایره است و با توجه به قسمت (پ) مطالب فوق، فاصله آن ها از مرکز دایره بیشتر از شعاع دایره است.
ب
در نقطه F قطع می کند. اگر فرض کنیم که در F قطع نکند، پس نقطه دیگری مانند M وجود دارد که OM بر خط d عمود است و M پای عمود است. نقطه دیگری مانند N روی خط d وجود دارد که M بین F و N قرار دارد و FM=NM. در نتیجه :
\(\left. \begin{array}{l}FM = MN\\{\widehat M_1} = {\widehat M_2}\\OM = common\end{array} \right\} \Rightarrow O\mathop M\limits^\Delta N \cong O\mathop M\limits^\Delta F \Rightarrow ON = OF = R\)
Common = مشترک
بنابراین نقطه N نیز روی دایره است و این با فرض مماس بودن خط d بر دایره تناقض دارد. پس خط مماس در نقطه F بر OF عمود است.
پ
بر هم عمودند
2 خط d در نقطۀ F به شعاع OF عمود است. با تعیین وضعیت همهٔ نقاط خط d نسبت به دایرۀ C نشان دهید این خط با دایره فقط یک نقطهٔ تماس دارد و بنابراین بر دایره مماس است.
فرض کنیم M نقطه دیگری غیر از F روی خط d باشد. چون OM>OF، در نتیجه نقطه M بیرون دایره C است. بنابراین خط d با دایره C فقط یک نقطه مشترک دارد. در نتیجه خط d بر دایره مماس است.
3 با توجه به قسمت های 1 و 2 اگر نقطه ای مانند F روی دایره داده شده باشد، چگونه می توانید خطِ مماس بر دایره را در نقطهٔ F رسم کنید؟
بنابراین:
یک خط و یک دایره بر هم مماس اند اگر و تنها اگر این خط در نقطۀ تماس با دایره بر شعاع آن نقطه عمود باشد.
در نقطه F یک خط عمود بر خط OF رسم می کنیم. این خط در نقطه F بر دایره مماس خواهد بود.
1736019749.png)
