شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
قبلاً همرسی سه عمود منصف یک مثلث را ثابت کرده ایم؛ بنابراین نقطه همرسی سه عمود منصف مثلث، تنها نقطه ای است که از سه رأس یک مثلث به یک فاصله است. پس اگر دایره ای به مرکز نقطه تلاقی سه عمود منصف و به شعاع فاصله این نقطه تا یک رأس رسم کنیم، این دایره از هر سه رأس مثلث می گذرد؛ یعنی دایره محیطی مثلث است. در نتیجه مثلث همواره محاطی است.
همچنین ثابت کرده ایم سه نیمساز زاویه های داخلی مثلث در نقطه ای درون مثلث همرس اند. در نتیجه مثلث، محیطی نیز هست. بنابر ویژگی نیمساز، این نقطه از هر سه ضلع مثلث به یک فاصله است.
پس مرکز دایره محاطی مثلث نقطه همرسی سه نیمساز است و شعاع این دایره، که آن را با r نشان می دهیم، فاصله این نقطه از هر یک از سه ضلع است. بنابر آنچه در مورد n ضلعی های محیطی نشان دادیم در مثلث نیز S=pr که S مساحت و P محیط مثلث است.
اگر نیمساز زاویه A از مثلث ABC را رسم کنیم، نیمساز زاویه خارجی C را در نقطه ای مانند O قطع می کند. این نقطه از خط BC و خط های AC و AB به یک فاصله است؛ چرا؟
بنابراین O نیز مرکز دایره ای است که بر ضلع BC و خط های شامل دو ضلع دیگر مماس است. این دایره را دایره محاطی خارجی نظیر رأس A می نامند.
نقطه O روی نیمساز زاویه A است؛ پس \(\left( 1 \right)\quad OT = OT'\)
نقطه O روی نیمساز زاویه خارجی C است؛ پس \(\left( 2 \right)\quad OT' = OT''\)
از (1) و (2) نتیجه می گیریم که \(OT = OT''\)
پس نقطه O روی نیمساز زاویه خارجی B نیز هست. به عبارتی این نقطه از خط BC و خط های AB و AC به یک فاصله است.
1736019749.png)
